Se o Wronskiano de
e
é
e
, determine
.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A questão pede para encontrar a função
dado que o Wronskiano de duas funções
e
é
e que
. Estamos lidando com conceitos de Equações Diferenciais, especificamente com o Wronskiano que ajuda a determinar a independência linear de soluções. Vamos usar a definição do Wronskiano para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções
e
, o Wronskiano é definido por:
Nesse caso, sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula do Wronskiano:
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Isso resulta em:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
onde
e
. O fator integrante
é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Como estamos procurando uma solução específica, podemos considerar
para simplificar:
Resposta
A função
é
.