Se o Wronskiano de y1 e y2 é W(y1, y2) = 3 e^(4 t) e y1(t) = e^(2t), determine y2(t).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para encontrar a função dado que o Wronskiano de duas funções e é e que . Estamos lidando com conceitos de Equações Diferenciais, especificamente com o Wronskiano que ajuda a determinar a independência linear de soluções. Vamos usar a definição do Wronskiano para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido por:
Nesse caso, sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula do Wronskiano:
Agora, vamos calcular a derivada de :
Substituindo de volta na equação:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por :
Isso resulta em:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Como estamos procurando uma solução específica, podemos considerar para simplificar:

Resposta

A função é .

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