A solid region in the first octant is bounded by the coordinate planes and the plane . The density of the solid is .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região sólida no primeiro octante, ou seja, onde , e são positivos. Essa região é limitada pelos planos coordenados e pelo plano . A densidade da região é dada por gramas por centímetro cúbico. Nosso objetivo aqui é calcular a massa dessa região usando cálculo integral múltiplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para nossa integral tripla. Como estamos no primeiro octante e limitados pelo plano , podemos expressar em função de e :
Então, os limites são:
varia de 0 a 2,
Para cada , varia de 0 a ,
E para cada e , varia de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular a massa () da região. A massa é dada pela integração da densidade sobre o volume:
Substituindo a densidade e os limites que definimos:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :