A solid region in the first octant is bounded by the coordinate planes and the plane x + y + z = 2. The density of the solid is delta(x, y, z) = 2 x gm / cm^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região sólida no primeiro octante, ou seja, onde , e são positivos. Essa região é limitada pelos planos coordenados e pelo plano . A densidade da região é dada por gramas por centímetro cúbico. Nosso objetivo aqui é calcular a massa dessa região usando cálculo integral múltiplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para nossa integral tripla. Como estamos no primeiro octante e limitados pelo plano , podemos expressar em função de e :
Então, os limites são:
  • varia de 0 a 2,
  • Para cada , varia de 0 a ,
  • E para cada e , varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular a massa ( ) da região. A massa é dada pela integração da densidade sobre o volume:
Substituindo a densidade e os limites que definimos:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Por fim, integramos em relação a :
Expandindo :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Resposta

A massa da região sólida é gramas.

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