Encontre a solução geral:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
Isso significa que vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de ordem dois. Para resolver, vamos encontrar a solução geral, que combina a solução da equação homogênea e da particular, mas como aqui é homogênea, vamos focar nessa parte.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
Comparando com a nossa, temos:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:
Passo 4
Notamos que a equação característica tem uma raiz dupla
. Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.