Encontre a solução geral:
(b) y''(t) - 2y'(t) + y(t) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
Isso significa que vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de ordem dois. Para resolver, vamos encontrar a solução geral, que combina a solução da equação homogênea e da particular, mas como aqui é homogênea, vamos focar nessa parte.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
Comparando com a nossa, temos:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:

Passo 4

Notamos que a equação característica tem uma raiz dupla . Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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