Considere a equação
y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 0
(a) Verifique que y1(t) = e^(-2 t) e y2(t) = e^(-3 t) são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, precisamos verificar se as funções dadas e são soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução da equação diferencial, substituímos essa função na equação e vemos se a igualdade se mantém.

Passo 3

Vamos começar com . Precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Como está igual a zero, é uma solução da equação.

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para . Calculamos as derivadas:

Passo 6

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Também resulta em zero, então é outra solução da equação.

Resposta

As funções e são soluções fundamentais da equação diferencial .

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