Considere a equação
(a) Verifique que
e
são soluções fundamentais.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, precisamos verificar se as funções dadas
e
são soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução da equação diferencial, substituímos essa função na equação e vemos se a igualdade se mantém.
Passo 3
Vamos começar com
. Precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Como está igual a zero,
é uma solução da equação.
Passo 5
Vamos repetir o mesmo processo para
. Calculamos as derivadas:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Também resulta em zero, então
é outra solução da equação.
Resposta
As funções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
.