Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a): f(x) = x^2 + 2x + 1, com a = 0 e b = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Médio, que faz parte do cálculo diferencial. Basicamente, ele nos diz que para uma função contínua e derivável em um intervalo , existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde a derivada da função é igual à inclinação da reta que liga os pontos e . No nosso caso, a função é , e os pontos são e . Vamos precisar calcular a derivada da função e a média da variação da função entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e . Isso significa substituir por e na função :
Então, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a média da variação da função entre e , que é dada por:
Então, a média da variação é .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de é:
Então, .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de no intervalo onde é igual à média da variação que calculamos. Ou seja:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Vamos resolver para :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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