Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
:
, com
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Médio, que faz parte do cálculo diferencial. Basicamente, ele nos diz que para uma função contínua e derivável em um intervalo
, existe pelo menos um ponto
nesse intervalo onde a derivada da função é igual à inclinação da reta que liga os pontos
e
. No nosso caso, a função é
, e os pontos são
e
. Vamos precisar calcular a derivada da função e a média da variação da função entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
. Isso significa substituir
por
e
na função
:
Então,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média da variação da função entre
e
, que é dada por:
Então, a média da variação é
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de
é:
Então,
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
no intervalo
onde
é igual à média da variação que calculamos. Ou seja:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Vamos resolver para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.