Considere a equação
y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 0
(b) Resolva o PVI com y(0) = 0 e y'(0) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E queremos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e . Vamos resolver essa equação usando métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial, começamos encontrando as raízes da equação característica associada:
Essa equação característica nos ajudará a determinar a forma geral da solução.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:

Passo 4

Com o discriminante positivo ( ), temos duas raízes reais e distintas:

Passo 5

Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores das raízes:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :

Passo 7

Em seguida, calculamos a derivada de :
Aplicamos a condição :
Sabendo que :
Então, .

Resposta

A solução do problema é:

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