Considere a equação
(b) Resolva o PVI com
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E queremos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e
. Vamos resolver essa equação usando métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Para resolver a equação diferencial, começamos encontrando as raízes da equação característica associada:
Essa equação característica nos ajudará a determinar a forma geral da solução.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Passo 4
Com o discriminante positivo (
), temos duas raízes reais e distintas:
Passo 5
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Passo 7
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Aplicamos a condição
:
Sabendo que
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema é: