Considere a equação
(b) Resolva o PVI com
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma maneira de resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para a nossa equação:
A equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos fatorar assim:
Então, temos uma raiz real dupla:
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condi��ões iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos achar a derivada de
para aplicar a segunda condição
:
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do produto:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema é: