Considere a equação
y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 0
(b) Resolva o PVI com y(0) = 4 e y'(0) = 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma maneira de resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para a nossa equação:
A equação característica é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Podemos fatorar assim:
Então, temos uma raiz real dupla:

Passo 4

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condi��ões iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos achar a derivada de para aplicar a segunda condição :
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do produto:
Aplicando :
Então, .

Resposta

A solução do problema é:

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