Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
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Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos resolvê-la usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Isso nos mostra que a derivada de
em relação a
é igual a vezes
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Como
, podemos reescrever:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é
e a integral do lado direito é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Como
é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.