Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(b)

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma matriz aumentada de um sistema linear, que está assim:
Isso representa um sistema com 4 equações e 2 variáveis. Nosso objetivo é entender quais são as possíveis soluções desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas sobredeterminados (mais equações do que variáveis).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos mais equações do que variáveis, o sistema é chamado de sobredeterminado. Isso significa que, na maioria das vezes, o sistema pode não ter solução, a menos que as equações sejam compatíveis entre si.

Passo 3

Para verificar se o sistema tem solução, precisamos olhar para a consistência das equações. Isso envolve verificar se as linhas da matriz aumentada são linearmente independentes ou não.
Se todas as equações forem consistentes e não houver contradições, o sistema pode ter uma única solução ou infinitas soluções. Caso contrário, se houver alguma contradição, como duas equações que se anulam uma à outra, o sistema não terá solução.

Passo 4

Vamos considerar o posto da matriz , que é o número máximo de linhas linearmente independentes. Se o posto de for igual ao número de variáveis (no caso, 2), e também for igual ao número de equações (4), então o sistema é consistente e terá uma única solução.
No entanto, como temos mais equações do que variáveis, é possível que algumas equações sejam combinações das outras, o que pode levar a infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 5

Conclusão: Sem informações adicionais sobre os coeficientes e , não podemos determinar exatamente quantas soluções o sistema tem. Porém, sabemos que:
  • Se as equações forem consistentes e dependentes, pode haver infinitas soluções.
  • Se houver alguma contradição entre as equações, o sistema não terá solução.

Resposta

Portanto, para a matriz aumentada dada, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da consistência e independência das equações presentes na matriz.

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