Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove. , com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto e queremos saber se esse conjunto é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e verificar se satisfaz as propriedades necessárias, como a presença do vetor zero, e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Como nesse caso, temos que , então . Isso mostra que não está vazio e contém o vetor zero, uma das propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos conferir se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Seja e em . A soma é . Como a segunda coordenada é igual à primeira, também está em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos agora verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar qualquer. A multiplicação por escalar é . Novamente, a segunda coordenada é igual à primeira, então está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.