Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
e queremos saber se esse conjunto é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias, como a presença do vetor zero, e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Como
nesse caso, temos que
, então
. Isso mostra que
não está vazio e contém o vetor zero, uma das propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
em
. A soma é
. Como a segunda coordenada é igual à primeira,
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos agora verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar qualquer. A multiplicação por escalar é
. Novamente, a segunda coordenada é igual à primeira, então
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.