Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto e queremos saber se esse conjunto é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e verificar se satisfaz as propriedades necessárias, como a presença do vetor zero, e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Como nesse caso, temos que , então . Isso mostra que não está vazio e contém o vetor zero, uma das propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos conferir se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Seja e em . A soma é . Como a segunda coordenada é igual à primeira, também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos agora verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar qualquer. A multiplicação por escalar é . Novamente, a segunda coordenada é igual à primeira, então está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

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Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(b)
Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de .
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
Calcule a inversa da matriz tal que , onde