Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se
é uma solução de
e
é uma solução de
então
é solução de
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que, se
resolve a equação homogênea
e
resolve a equação
, então a combinação linear
também resolve
. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e combinação linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser uma solução de
. Isso quer dizer que, quando a gente multiplica a matriz
pelo vetor
, o resultado é o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que
está no núcleo (ou espaço nulo) de
.
Passo 3
Agora,
é uma solução de
. Então, multiplicando
por
, a gente tem:
Isso quer dizer que
é uma solução particular desse sistema.
Passo 4
A gente quer saber se
também é solução de
. Vamos multiplicar
por essa combinação linear:
Aqui, usamos a propriedade de distribuição da matriz sobre a soma e a multiplicação por escalar.
Passo 5
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na equação acima:
Então,
.
Passo 6
Para que
seja uma solução de
, precisaríamos que
. Mas vimos que:
A menos que
, o que não foi especificado.
Resposta
A afirmação é Falsa. Por exemplo, se
, então
, então
não é solução de
.