Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que, se resolve a equação homogênea e resolve a equação , então a combinação linear também resolve . Vamos usar conceitos de sistemas lineares e combinação linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma solução de . Isso quer dizer que, quando a gente multiplica a matriz pelo vetor , o resultado é o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que está no núcleo (ou espaço nulo) de .
Passo 3
Agora, é uma solução de . Então, multiplicando por , a gente tem:
Isso quer dizer que é uma solução particular desse sistema.
Passo 4
A gente quer saber se também é solução de . Vamos multiplicar por essa combinação linear:
Aqui, usamos a propriedade de distribuição da matriz sobre a soma e a multiplicação por escalar.
Passo 5
Sabemos que e . Substituindo esses valores na equação acima:
Então, .
Passo 6
Para que seja uma solução de , precisaríamos que . Mas vimos que:
A menos que , o que não foi especificado.
Resposta
A afirmação é Falsa. Por exemplo, se , então , então não é solução de .