Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que, se resolve a equação homogênea e resolve a equação , então a combinação linear também resolve . Vamos usar conceitos de sistemas lineares e combinação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma solução de . Isso quer dizer que, quando a gente multiplica a matriz pelo vetor , o resultado é o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que está no núcleo (ou espaço nulo) de .

Passo 3

Agora, é uma solução de . Então, multiplicando por , a gente tem:
Isso quer dizer que é uma solução particular desse sistema.

Passo 4

A gente quer saber se também é solução de . Vamos multiplicar por essa combinação linear:
Aqui, usamos a propriedade de distribuição da matriz sobre a soma e a multiplicação por escalar.

Passo 5

Sabemos que e . Substituindo esses valores na equação acima:
Então, .

Passo 6

Para que seja uma solução de , precisaríamos que . Mas vimos que:
A menos que , o que não foi especificado.

Resposta

A afirmação é Falsa. Por exemplo, se , então , então não é solução de .

Exercícios relacionados

Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de .
Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(b)
Calcule a inversa da matriz tal que , onde
Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.