Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se X1 é uma solução de A X=0 e Y1 é uma solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que, se resolve a equação homogênea e resolve a equação , então a combinação linear também resolve . Vamos usar conceitos de sistemas lineares e combinação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A X1 = 0 ser uma solução de . Isso quer dizer que, quando a gente multiplica a matriz pelo vetor , o resultado é o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que está no núcleo (ou espaço nulo) de .

Passo 3

Agora, A Y1 = B é uma solução de . Então, multiplicando por , a gente tem:
Isso quer dizer que é uma solução particular desse sistema.

Passo 4

A gente quer saber se A (2 X1 + 3 Y1) = 2 A X1 + 3 A Y1 também é solução de . Vamos multiplicar por essa combinação linear:
Aqui, usamos a propriedade de distribuição da matriz sobre a soma e a multiplicação por escalar.

Passo 5

Sabemos que 2 A X1 + 3 A Y1 = 2 0 + 3 B = 0 + 3 B = 3 B e . Substituindo esses valores na equação acima:
Então, .

Passo 6

Para que A (2 X1 + 3 Y1) = 3 B neq B seja uma solução de , precisaríamos que . Mas vimos que:
A menos que , o que não foi especificado.

Resposta

A afirmação é Falsa. Por exemplo, se , então , então não é solução de .

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