Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
E=(x, y) in R^2 mid y=x+1, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: O conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de é um espaço vetorial?
Para responder isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas subespaços. Precisamos verificar se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, ou seja, se ele é fechado sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está presente em y = x + 1 implies y = 0 + 1 implies y = 1 . O vetor zero em é .
Para isso, substituímos na equação que define :
Então, se , , o que nos dá o vetor .
Comparando com o vetor zero , vemos que .
Isso já é um sinal de que não é um subespaço, já que todo espaço vetorial deve conter o vetor zero.

Passo 3

Mas vamos continuar para entender melhor. Agora, vamos verificar se (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) é fechado sob adição.
Se pegarmos dois vetores qualquer de = (x1 + x2, (x1 + 1) + (x2 + 1)) = (x1 + x2, x1 + x2 + 2) , digamos x1 + x2 + 2 = (x1 + x2) + 1 implies 2 = 1 e , onde e , a soma deles seria:
Substituindo e :
Para que a soma esteja em , deveríamos ter , então:
O que é falso. Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos também verificar a fechadura sob multiplicação por escalar.
Se tomarmos um vetor alpha cdot (x, y) = (alpha x, alpha y) e um escalar = (alpha x, alpha (x + 1)) = (alpha x, alpha x + alpha) , a multiplicação por escalar seria:
alpha x + alpha = alpha x + 1 implies alpha = 1
Como , substituímos:
Para que esteja em , precisaríamos que:
Isso só é válido para , ou seja, não é fechado para quaisquer escalares diferentes de 1.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob adição nem multiplicação por qualquer escalar.

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