Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: O conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de
é um espaço vetorial?
Para responder isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas subespaços. Precisamos verificar se
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, ou seja, se ele é fechado sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está presente em
. O vetor zero em
é
.
Para isso, substituímos
na equação que define
:
Então, se
,
, o que nos dá o vetor
.
Comparando com o vetor zero
, vemos que
.
Isso já é um sinal de que
não é um subespaço, já que todo espaço vetorial deve conter o vetor zero.
Passo 3
Mas vamos continuar para entender melhor. Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição.
Se pegarmos dois vetores qualquer de
, digamos
e
, onde
e
, a soma deles seria:
Substituindo
e
:
Para que a soma esteja em
, deveríamos ter
, então:
O que é falso. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos também verificar a fechadura sob multiplicação por escalar.
Se tomarmos um vetor
e um escalar
, a multiplicação por escalar seria:
Como
, substituímos:
Para que
esteja em
, precisaríamos que:
Isso só é válido para
, ou seja,
não é fechado para quaisquer escalares diferentes de 1.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob adição nem multiplicação por qualquer escalar.