Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços de R^3 ?
O plano dos vetores (b1, b2, b3) que satisfazem b3-b2+3 b1=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em R^3 que satisfazem a equação b3 - b2 + 3b1 = 0. Precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço de R^3. Para isso, vamos lembrar que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. Substituindo b1=0, b2=0, b3=0 na equação:
0 - 0 + 3 cdot 0 = 0
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Sejam u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) que satisfazem u3 - u2 + 3u1 = 0 e v3 - v2 + 3v1 = 0. A soma desses vetores é:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
Substituindo na equação:
(u3 + v3) - (u2 + v2) + 3(u1 + v1) = (u3 - u2 + 3u1) + (v3 - v2 + 3v1) = 0 + 0 = 0
Portanto, a soma dos dois vetores também satisfaz a equação.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja u = (u1, u2, u3) que satisfaz u3 - u2 + 3u1 = 0 e seja k um número real. Multiplicando o vetor por k:
ku = (k u1, k u2, k u3)
Substituindo na equação:
k u3 - k u2 + 3k u1 = k(u3 - u2 + 3u1) = k cdot 0 = 0
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação.

Resposta

Sim, o conjunto dado é um subespaço de R^3.

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