Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores que satisfazem

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em que satisfazem a equação . Precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos lembrar que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. Substituindo , , na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Sejam e que satisfazem e . A soma desses vetores é:
Substituindo na equação:
Portanto, a soma dos dois vetores também satisfaz a equação.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja que satisfaz e seja um número real. Multiplicando o vetor por :
Substituindo na equação:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação.

Resposta

Sim, o conjunto dado é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
Todas as combinações lineares dos vetores e .
Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
© nenhuma solução.
Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de .
Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(b)