Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores que satisfazem
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em que satisfazem a equação . Precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos lembrar que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. Substituindo , , na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Sejam e que satisfazem e . A soma desses vetores é:
Substituindo na equação:
Portanto, a soma dos dois vetores também satisfaz a equação.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja que satisfaz e seja um número real. Multiplicando o vetor por :
Substituindo na equação:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação.