Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
(a) Se o sistema linear
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: "Se o sistema linear
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução."
Estamos trabalhando com sistemas lineares e soluções, especialmente sistemas homogêneos ( ) e sistemas não homogêneos (
). Para resolver isso, precisamos entender quando um sistema tem múltiplas soluções e como isso afeta a existência de soluções para outro sistema relacionado.
Estamos trabalhando com sistemas lineares e soluções, especialmente sistemas homogêneos (
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o sistema
ter mais de uma solução. Isso quer dizer que além da solução trivial (
), existem outras soluções que satisfazem a equação. Em termos de álgebra linear, isso indica que as colunas da matriz
são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos pensar no sistema
. Para que esse sistema tenha pelo menos uma solução, o vetor
precisa estar no espaço coluna da matriz
. Ou seja,
deve ser uma combinação linear das colunas de
.
Passo 4
O fato de
ter múltiplas soluções não garante que qualquer
estará no espaço coluna de
. A existência de múltiplas soluções para o sistema homogêneo apenas indica que há liberdade nas soluções, mas não informa nada sobre onde está o vetor
.
Passo 5
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo. Seja
uma matriz nula (todos os elementos são zero):
Neste caso, o sistema
tem infinitas soluções, pois qualquer vetor
satisfaz a equação. No entanto, se escolhermos
como um vetor não nulo, por exemplo:
O sistema
não terá solução, pois não existe
que satisfaça
.
Resposta
A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é a matriz
nula, onde
tem múltiplas soluções, mas
não tem solução se
for um vetor não nulo.