Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: "Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução."
Estamos trabalhando com sistemas lineares e soluções, especialmente sistemas homogêneos ( ) e sistemas não homogêneos ( ). Para resolver isso, precisamos entender quando um sistema tem múltiplas soluções e como isso afeta a existência de soluções para outro sistema relacionado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o sistema ter mais de uma solução. Isso quer dizer que além da solução trivial ( ), existem outras soluções que satisfazem a equação. Em termos de álgebra linear, isso indica que as colunas da matriz são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos pensar no sistema . Para que esse sistema tenha pelo menos uma solução, o vetor precisa estar no espaço coluna da matriz . Ou seja, deve ser uma combinação linear das colunas de .

Passo 4

O fato de ter múltiplas soluções não garante que qualquer estará no espaço coluna de . A existência de múltiplas soluções para o sistema homogêneo apenas indica que há liberdade nas soluções, mas não informa nada sobre onde está o vetor .

Passo 5

Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo. Seja uma matriz nula (todos os elementos são zero):
Neste caso, o sistema tem infinitas soluções, pois qualquer vetor satisfaz a equação. No entanto, se escolhermos como um vetor não nulo, por exemplo:
O sistema não terá solução, pois não existe que satisfaça .

Resposta

A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é a matriz nula, onde tem múltiplas soluções, mas não tem solução se for um vetor não nulo.

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Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .
Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
©
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.