Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: "Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução."
Estamos trabalhando com sistemas lineares e soluções, especialmente sistemas homogêneos () e sistemas não homogêneos (). Para resolver isso, precisamos entender quando um sistema tem múltiplas soluções e como isso afeta a existência de soluções para outro sistema relacionado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o sistema ter mais de uma solução. Isso quer dizer que além da solução trivial (), existem outras soluções que satisfazem a equação. Em termos de álgebra linear, isso indica que as colunas da matriz são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos pensar no sistema . Para que esse sistema tenha pelo menos uma solução, o vetor precisa estar no espaço coluna da matriz . Ou seja, deve ser uma combinação linear das colunas de .
Passo 4
O fato de ter múltiplas soluções não garante que qualquer estará no espaço coluna de . A existência de múltiplas soluções para o sistema homogêneo apenas indica que há liberdade nas soluções, mas não informa nada sobre onde está o vetor .
Passo 5
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo. Seja uma matriz nula (todos os elementos são zero):
Neste caso, o sistema tem infinitas soluções, pois qualquer vetor satisfaz a equação. No entanto, se escolhermos como um vetor não nulo, por exemplo:
O sistema não terá solução, pois não existe que satisfaça .
Resposta
A afirmação é Falsa. Um contra-exemplo é a matriz nula, onde tem múltiplas soluções, mas não tem solução se for um vetor não nulo.