Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(b) f(x, y) = { 2xy^2 / (x^2 + y^4), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável na origem, ou seja, no ponto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, derivadas parciais e condições de diferenciabilidade para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua na origem. Uma função precisa ser contínua no ponto para ser diferenciável lá. Então, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Se esse limite for igual a 0 (que é o valor de ), então a função é contínua na origem.

Passo 3

Para calcular esse limite, uma técnica comum é analisar o comportamento da função ao se aproximar da origem por diferentes caminhos. Vamos tentar o caminho :
Agora, pelo caminho :
Também vamos tentar o caminho , onde é uma constante positiva. Substituindo:
Analisando o comportamento quando , percebemos que o limite tende a 0 para qualquer valor de . Portanto, o limite geral é 0, o que confirma que a função é contínua na origem.

Passo 4

Agora que sabemos que a função é contínua na origem, vamos verificar se ela possui derivadas parciais nesse ponto e se satisfaz a condição de diferenciabilidade.
As derivadas parciais de em relação a e na origem são calculadas usando os limites:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero na origem.

Passo 5

Por fim, para que a função seja diferenciável na origem, a aproximação linear deve ser uma boa representação da função perto desse ponto. Ou seja, devemos ter:
Substituindo os valores encontrados:
Analisando esse limite, verificamos que ele também tende a zero, o que satisfaz a condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função é diferenciável na origem .

Exercícios relacionados

Seja C a elipse 4 x^2+9 y^2=36, orientada no sentido anti-horário. A integral de linha ointC -y4 x^2+9 y^2 d x+x4 x^2+9 y^2 d y é igual a:
Calcule matriz inversa da matriz A = [[-2, -3], [2, 4]]
Calcule matriz inversa da matriz C = [[2, 1, 3], [4, 2, 2], [2, 5, 3]]
Seja C a curva definida por sigma(t)=(cos (pi t), t^2), 0 <= t <= 1. A integral de linha integralC(3 x^2 y^2+5 x^4) d x+(2 x^3 y+11+y^2) d y é igual a: