Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
O objetivo é verificar se essa função é diferenciável na origem, ou seja, no ponto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade, derivadas parciais e condições de diferenciabilidade para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função é contínua na origem. Uma função precisa ser contínua no ponto para ser diferenciável lá. Então, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Se esse limite for igual a 0 (que é o valor de ), então a função é contínua na origem.
Passo 3
Para calcular esse limite, uma técnica comum é analisar o comportamento da função ao se aproximar da origem por diferentes caminhos. Vamos tentar o caminho :
Agora, pelo caminho :
Também vamos tentar o caminho , onde é uma constante positiva. Substituindo:
Analisando o comportamento quando , percebemos que o limite tende a 0 para qualquer valor de . Portanto, o limite geral é 0, o que confirma que a função é contínua na origem.
Passo 4
Agora que sabemos que a função é contínua na origem, vamos verificar se ela possui derivadas parciais nesse ponto e se satisfaz a condição de diferenciabilidade.
As derivadas parciais de em relação a e na origem são calculadas usando os limites:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero na origem.
Passo 5
Por fim, para que a função seja diferenciável na origem, a aproximação linear deve ser uma boa representação da função perto desse ponto. Ou seja, devemos ter:
Substituindo os valores encontrados:
Analisando esse limite, verificamos que ele também tende a zero, o que satisfaz a condição de diferenciabilidade.