Seja C a curva definida por sigma(t)=(cos (pi t), t^2), 0 <= t <= 1. A integral de linha integralC(3 x^2 y^2+5 x^4) d x+(2 x^3 y+11+y^2) d y é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. A gente tem uma curva integralC (3x^2y^2 + 5x^4) dx + (2x^3y + 11+y^2) dy definida por para entre 0 e 1. O objetivo é calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre integrais de linha e campos vetoriais conservativos. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = cos(pi t) y(t) = t^2 . Queremos expressar dxdt = -pi sin(pi t) dydt = 2t e dx = -pi sin(pi t) , dt dy = 2t , dt em termos de :
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que serão usadas para substituir e na integral:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos substituir integral0^1 [ (3cos^2(pi t) cdot t^4 + 5cos^4(pi t)) cdot (-pi sin(pi t)) + (2cos^3(pi t) cdot t^2 + 11 + t^4) cdot 2t ] dt , , e na integral original. A integral fica assim:
Isso parece complicado, né? Mas tem um jeito mais fácil de resolver usando o conceito de campo vetorial conservativo.

Passo 4

Vamos verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial partial Ppartial y = partial Qpartial x é conservativo se existe uma função potencial P(x, y) = 3x^2y^2 + 5x^4 Q(x, y) = 2x^3y + 11+y^2 tal que:
partial Ppartial y = 6x^2y partial Qpartial x = 6x^2y
Vamos calcular:
partial Fpartial x = P partial Fpartial y = Q
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo vetorial é conservativo. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial tal que:

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial F(x, y) = integral P , dx + h(y) = integral (3x^2y^2 + 5x^4) dx + h(y) = x^3y^2 + x^5 + h(y) . Integramos partial Fpartial y = 2x^3y + h'(y) = Q = 2x^3y + 11+y^2 Rightarrow h'(y) = 11+y^2 Rightarrow h(y) = arctan(y) + C em relação a F(x, y) = x^3y^2 + x^5 + arctan(y) :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Então, a função potencial é:

Passo 6

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Vamos identificar esses pontos:
  • Quando x = cos(0) = 1 y = 0^2 = 0 Rightarrow Ponto Inicial: (1, 0) :
    x = cos(pi) = -1 y = 1^2 = 1 Rightarrow Ponto Final: (-1, 1)
  • Quando F(-1, 1) = (-1)^3(1)^2 + (-1)^5 + arctan(1) = -1 -1 + pi4 = -2 + pi4 F(1, 0) = (1)^3(0)^2 + (1)^5 + arctan(0) = 0 + 1 + 0 = 1 :
Agora, calculamos nesses pontos:

Resposta

A integral de linha é:
pi4 - 3

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