Seja a curva definida por . A integral de linha é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. A gente tem uma curva definida por para entre 0 e 1. O objetivo é calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre integrais de linha e campos vetoriais conservativos. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Queremos expressar e em termos de :
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que serão usadas para substituir e na integral:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos substituir, , e na integral original. A integral fica assim:
Isso parece complicado, né? Mas tem um jeito mais fácil de resolver usando o conceito de campo vetorial conservativo.
Passo 4
Vamos verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo vetorial é conservativo. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial. Integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Então, a função potencial é:
Passo 6
Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Vamos identificar esses pontos: