Seja
a curva definida por
. A integral de linha
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. A gente tem uma curva
definida por
para
entre 0 e 1. O objetivo é calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre integrais de linha e campos vetoriais conservativos. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Queremos expressar
e
em termos de
:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, que serão usadas para substituir
e
na integral:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
,
e
na integral original. A integral fica assim:
Isso parece complicado, né? Mas tem um jeito mais fácil de resolver usando o conceito de campo vetorial conservativo.
Passo 4
Vamos verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo vetorial é conservativo. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Então, a função potencial é:
Passo 6
Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final da curva. Vamos identificar esses pontos:
-
Quando
: -
Quando
:
Agora, calculamos
nesses pontos:
Resposta
A integral de linha é: