Seja C a elipse 4 x^2+9 y^2=36, orientada no sentido anti-horário. A integral de linha ointC -y4 x^2+9 y^2 d x+x4 x^2+9 y^2 d y é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma elipse dada pela equação , orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de linha e, para resolver, vamos precisar usar teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse para facilitar os cálculos. Dividindo ambos os lados por 36, temos:
4x^236 + 9y^236 = 1 implies x^29 + y^24 = 1
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior e semi-eixo menor .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral que queremos calcular:
ointC -y4x^2+9y^2 , dx + x4x^2+9y^2 , dy
Perceba que na curva -y36 , dx + x36 , dy = 136 (-y , dx + x , dy) (a elipse), a equação está sempre satisfeita. Então, podemos substituir o denominador por 36:

Passo 4

Agora, temos que calcular:
136 ointC (-y , dx + x , dy)
Essa integral é conhecida e está relacionada com a área da região delimitada pela curva ointC (-y , dx + x , dy) = 2 times Área da elipse através do teorema de Green. O teorema de Green nos diz que:
Á

Passo 5

Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Área = pi times a times b Á
Onde Área = pi times 3 times 2 = 6pi e . Então:
Á

Passo 6

Aplicando o teorema de Green:
ointC (-y , dx + x , dy) = 2 times 6pi = 12pi

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
136 times 12pi = 12pi36 = pi3

Resposta

A integral de linha é igual a .

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