Seja
a elipse
, orientada no sentido anti-horário. A integral de linha
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma elipse dada pela equação
, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de linha e, para resolver, vamos precisar usar teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse para facilitar os cálculos. Dividindo ambos os lados por 36, temos:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior
e semi-eixo menor
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral que queremos calcular:
Perceba que na curva
(a elipse), a equação
está sempre satisfeita. Então, podemos substituir o denominador por 36:
Passo 4
Agora, temos que calcular:
Essa integral é conhecida e está relacionada com a área da região delimitada pela curva
através do teorema de Green. O teorema de Green nos diz que:
Passo 5
Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Onde
e
. Então:
Passo 6
Aplicando o teorema de Green:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Resposta
A integral de linha é igual a
.