Calcule matriz inversa da matriz C = [[2, 1, 3], [4, 2, 2], [2, 5, 3]]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é calcular a matriz inversa da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem inversa (se o determinante for diferente de zero) e é usado no cálculo da inversa.

Passo 3

O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Então, o determinante de é 32.

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a matriz adjunta de , que é a matriz transposta dos co-fatores de .

Passo 5

Para encontrar a matriz adjunta, precisamos primeiro calcular os co-fatores de cada elemento de . O co-fator é dado por:
onde é a matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Vamos calcular cada co-fator:

Passo 6

Agora, organizamos os co-fatores na matriz de co-fatores:
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz de co-fatores:

Passo 7

Com o determinante e a adjunta, podemos encontrar a matriz inversa usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz inversa de é:

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