Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a função
é diferenciável na origem
. A função está definida da seguinte maneira:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre diferenciabilidade em funções de múltiplas variáveis e verificar certos limites e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existirem e se aproximarem de forma linear. Então, vamos verificar a continuidade da função na origem.
Passo 3
Para verificar a continuidade na origem, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
.
Vamos analisar:
Passo 4
Podemos usar coordenadas polares para facilitar o limite. Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, ao fazer
, vemos que
porque
tende a zero independentemente de
. Portanto:
Isso mostra que a função é contínua na origem.
Passo 6
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
na origem e verificar se elas existem.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
na origem:
Passo 7
Agora, a derivada parcial em relação a
na origem:
Passo 8
Com as derivadas parciais iguais a zero, a próxima etapa é verificar se a função é linearmente aproximável na origem. Ou seja, precisamos checar se:
Simplificando, já que
e as derivadas parciais são zero:
Passo 9
Usando novamente coordenadas polares:
Ao fazer
,
. Portanto:
Isso confirma que a função é diferenciável na origem.
Resposta
A função
é diferenciável na origem
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Seja
um campo vetorial de classe
em
. Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial
, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(I) Se rot então
para toda curva
que é fechada em
.
( ) Verdadeira
( ) Falsa
(I) Se rot
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Seja
um campo vetorial de classe
em
. Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial
, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(IV) Sejam e
esferas centradas na origem com raios 1 e 2, respectivamente. Suponha que
e
estão orientadas com normal exterior. Se
então
.
( ) Verdadeira
( ) Falsa
(IV) Sejam
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Calcule: