Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a função é diferenciável na origem . A função está definida da seguinte maneira:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre diferenciabilidade em funções de múltiplas variáveis e verificar certos limites e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existirem e se aproximarem de forma linear. Então, vamos verificar a continuidade da função na origem.

Passo 3

Para verificar a continuidade na origem, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .
Vamos analisar:

Passo 4

Podemos usar coordenadas polares para facilitar o limite. Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, ao fazer , vemos que porque tende a zero independentemente de . Portanto:
Isso mostra que a função é contínua na origem.

Passo 6

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e na origem e verificar se elas existem.
Primeiro, a derivada parcial em relação a na origem:

Passo 7

Agora, a derivada parcial em relação a na origem:

Passo 8

Com as derivadas parciais iguais a zero, a próxima etapa é verificar se a função é linearmente aproximável na origem. Ou seja, precisamos checar se:
Simplificando, já que e as derivadas parciais são zero:

Passo 9

Usando novamente coordenadas polares:
Ao fazer , . Portanto:
Isso confirma que a função é diferenciável na origem.

Resposta

A função é diferenciável na origem .

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( ) Verdadeira
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