Seja um campo vetorial de classe em . Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial , e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(I) Se rot então para toda curva que é fechada em .
( ) Verdadeira
( ) Falsa

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial que é de classe no espaço . A questão nos apresenta uma afirmação sobre esse campo vetorial e pede para decidirmos se ela é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o rotacional de um campo vetorial e como isso se relaciona com integrais de linha em curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O rotacional de um campo vetorial, também conhecido como rotacional ou curl, mede a tendência do campo de girar ao redor de um ponto. Se , isso significa que o campo não tem rotação, ou seja, é um campo conservativo.

Passo 3

Um campo conservativo tem uma propriedade muito interessante: a integral de linha de ao longo de qualquer curva fechada é zero, desde que não haja obstáculos dentro da região considerada. Matemáticamente, isso é expresso por .

Passo 4

No entanto, há um detalhe importante na região . Estamos removendo o ponto do espaço tridimensional. Isso cria um “buraco” no espaço, e algumas curvas fechadas podem envolver esse ponto removido. Nesse caso, mesmo que , a integral pode não ser zero se a curva envolver o ponto onde o campo não está definido.

Passo 5

Um exemplo clássico disso é o campo , onde . Este campo tem em , mas se você calcular a integral de linha ao redor de um círculo que envolve a origem, o resultado não será zero. Isso acontece porque a origem está sendo excluída de , criando uma singularidade.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que se então para toda curva fechada em nem sempre é verdadeira quando há “buracos” na região considerada.

Resposta

A afirmação é Falsa.

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Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(e)