Seja
um campo vetorial de classe
em
. Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial
, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(I) Se rot
então
para toda curva
que é fechada em
.
( ) Verdadeira
( ) Falsa
(I) Se rot
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
que é de classe
no espaço
. A questão nos apresenta uma afirmação sobre esse campo vetorial e pede para decidirmos se ela é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o rotacional de um campo vetorial e como isso se relaciona com integrais de linha em curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O rotacional de um campo vetorial, também conhecido como rotacional ou curl, mede a tendência do campo de girar ao redor de um ponto. Se
, isso significa que o campo
não tem rotação, ou seja, é um campo conservativo.
Passo 3
Um campo conservativo tem uma propriedade muito interessante: a integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
é zero, desde que não haja obstáculos dentro da região considerada. Matemáticamente, isso é expresso por
.
Passo 4
No entanto, há um detalhe importante na região
. Estamos removendo o ponto
do espaço tridimensional. Isso cria um “buraco” no espaço, e algumas curvas fechadas podem envolver esse ponto removido. Nesse caso, mesmo que
, a integral pode não ser zero se a curva
envolver o ponto onde o campo não está definido.
Passo 5
Um exemplo clássico disso é o campo
, onde
. Este campo tem
em
, mas se você calcular a integral de linha ao redor de um círculo que envolve a origem, o resultado não será zero. Isso acontece porque a origem está sendo excluída de
, criando uma singularidade.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que se
então
para toda curva fechada
em
nem sempre é verdadeira quando há “buracos” na região considerada.
Resposta
A afirmação é Falsa.
Exercícios relacionados
Resolva os sistemas de Equações pelo método da adição:
Calcule:
Calcule:
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(e)
(e)