Seja
um campo vetorial de classe
em
. Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial
, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(IV) Sejam
e
esferas centradas na origem com raios 1 e 2, respectivamente. Suponha que
e
estão orientadas com normal exterior. Se
então
.
( ) Verdadeira
( ) Falsa
(IV) Sejam
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
que é suave (classe
) em todo o espaço tridimensional, exceto na origem. O enunciado nos apresenta duas esferas,
e
, com raios 1 e 2, respectivamente, ambas centradas na origem e orientadas com a normal para fora. A questão quer saber se, sabendo que a divergência de
é zero (
), as integrais de fluxo de
através dessas duas esferas são iguais. Vamos usar o teorema da divergência para resolver isso.
Passo 2
O teorema da divergência nos diz que a integral do fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Como sabemos que
, a integral de divergência sobre qualquer volume será zero:
Portanto, temos:
Passo 3
Aplicando isso às duas esferas
e
, ambas contidas em
, vemos que:
Logo, as duas integrais são iguais.
Resposta
Verdadeira
Exercícios relacionados
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(e)
(e)
Calcule:
Calcule:
Calcul: