Seja um campo vetorial de classe em . Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial , e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(IV) Sejam e esferas centradas na origem com raios 1 e 2, respectivamente. Suponha que e estão orientadas com normal exterior. Se então .
( ) Verdadeira
( ) Falsa

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial que é suave (classe ) em todo o espaço tridimensional, exceto na origem. O enunciado nos apresenta duas esferas, e , com raios 1 e 2, respectivamente, ambas centradas na origem e orientadas com a normal para fora. A questão quer saber se, sabendo que a divergência de é zero ( ), as integrais de fluxo de através dessas duas esferas são iguais. Vamos usar o teorema da divergência para resolver isso.

Passo 2

O teorema da divergência nos diz que a integral do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Como sabemos que , a integral de divergência sobre qualquer volume será zero:
Portanto, temos:

Passo 3

Aplicando isso às duas esferas e , ambas contidas em , vemos que:
Logo, as duas integrais são iguais.

Resposta

Verdadeira

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(e)
Calcule:
Calcule:
Calcul: