Seja F um campo vetorial de classe C^1 em Omega=R^3-(0,0,0). Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial F, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(IV) Sejam S1 e S2 esferas centradas na origem com raios 1 e 2, respectivamente. Suponha que S1 e S2 estão orientadas com normal exterior. Se div F=0 então integral duplaS1 F cdot n d S=integral duplaS2 F cdot n d S.
( ) Verdadeira
( ) Falsa

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial que é suave (classe ) em todo o espaço tridimensional, exceto na origem. O enunciado nos apresenta duas esferas, e , com raios 1 e 2, respectivamente, ambas centradas na origem e orientadas com a normal para fora. A questão quer saber se, sabendo que a divergência de é zero ( ), as integrais de fluxo de através dessas duas esferas são iguais. Vamos usar o teorema da divergência para resolver isso.

Passo 2

O teorema da divergência nos diz que a integral do fluxo de um campo vetorial integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV div F , dV através de uma superfície fechada integral triplaV 0 , dV = 0 é igual à integral da divergência de integral duplaS F cdot n , dS = 0 sobre o volume limitado por :
Como sabemos que , a integral de divergência sobre qualquer volume será zero:
Portanto, temos:

Passo 3

Aplicando isso às duas esferas integral duplaS1 F cdot n , dS = 0 e integral duplaS2 F cdot n , dS = 0 e , ambas contidas em , vemos que:
Logo, as duas integrais são iguais.

Resposta

Verdadeira

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