Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é diferenciável na origem
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função
é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear naquele ponto. Isso implica que as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas na origem
:
Passo 5
Com as derivadas parciais existentes e sendo contínuas próximas à origem, podemos concluir que a função
é diferenciável na origem.
Resposta
A função
é diferenciável na origem
.