Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(a) g(x, y) = sen(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é diferenciável na origem . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear naquele ponto. Isso implica que as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas na origem :

Passo 5

Com as derivadas parciais existentes e sendo contínuas próximas à origem, podemos concluir que a função é diferenciável na origem.

Resposta

A função é diferenciável na origem .

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