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As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
a) f(x, y) = ln(raiz(1 + x^2 + y^2))

Passo 1

Então, a gente tem a função e a pergunta é: essa função é diferenciável? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, calcular as derivadas parciais e verificar se elas são contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
De forma similar, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todos os pontos do domínio da função. O denominador nunca é zero, já que . Portanto, as derivadas parciais e são contínuas em todo o plano .

Passo 5

Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Como vimos que e existem e são contínuas em todo lugar, podemos concluir que a função é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todo o seu domínio .

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