3
As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
a)
As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
a)
Passo 1
Então, a gente tem a função
e a pergunta é: essa função é diferenciável? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, calcular as derivadas parciais e verificar se elas são contínuas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
De forma similar, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todos os pontos do domínio da função. O denominador
nunca é zero, já que
. Portanto, as derivadas parciais
e
são contínuas em todo o plano
.
Passo 5
Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Como vimos que
e
existem e são contínuas em todo lugar, podemos concluir que a função
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio
.