As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
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Passo 1
Então, a questão pede para a gente verificar se a função
é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e se são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todo o domínio da função. A função
é contínua para todos os valores de
e
, e os termos
e
também são contínuos. Portanto, as derivadas parciais
e
são contínuas em todo o
.
Passo 4
Segundo o teorema da diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que
e
são contínuas em todo o domínio, concluímos que
é diferenciável em todos os pontos de
.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em todo o seu domínio.