As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
f) f(x, y) = sen(x^2 + y^2)

Passo 1

Então, a questão pede para a gente verificar se a função é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e se são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todo o domínio da função. A função é contínua para todos os valores de e , e os termos e também são contínuos. Portanto, as derivadas parciais e são contínuas em todo o .

Passo 4

Segundo o teorema da diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que e são contínuas em todo o domínio, concluímos que é diferenciável em todos os pontos de .

Resposta

Sim, a função é diferenciável em todo o seu domínio.

Exercícios relacionados