Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
(d) ,
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão pede. Temos a superfície definida pela equação e um ponto específico . Precisamos encontrar duas coisas:
A equação do plano tangente à superfície no ponto .
A equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano tangente e depois usar essas informações para encontrar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos darão as inclinações do plano tangente nos eixos e .
A função dada é:
Vamos derivar em relação a :
Agora, derivar em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores dessas derivadas no ponto .
Calculando em :
Calculando em :
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar a equação:
Passo 5
Para encontrar a equação da reta normal ao plano tangente, precisamos da direção normal ao plano. A direção normal é dada pelo vetor gradiente no ponto , que é formado pelas derivadas parciais:
Substituindo os valores das derivadas:
A reta normal passa pelo ponto e tem direção . A equação paramétrica da reta é:
Onde e .
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
A equação paramétrica da reta normal à superfície no mesmo ponto é: