Para cada um dos casos, determine a hipérbole que satisfaz as condições dadas. Vértices A=( pm 4,0), equações das assíntotas y= pm 2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles. A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que tem os vértices em e as assíntotas . Vamos usar conceitos básicos de hipérboles para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa hipérbole, os vértices nos dão uma informação importante: a distância do centro aos vértices é representada por . Como os vértices são , isso significa que .

Passo 3

Agora, as assíntotas da hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima quando vai para o infinito. A equação das assíntotas numa hipérbole centralizada na origem tem a forma . No nosso caso, as assíntotas são . Comparando com a forma geral, temos que .

Passo 4

Como já sabemos que b = 2 times 4 = 8 , podemos encontrar multiplicando ambos os lados da equação por 4. Assim:

Passo 5

Com os valores de x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e x^216 - y^264 = 1 conhecidos, podemos escrever a equação padrão da hipérbole. Para hipérboles com vértices ao longo do eixo , a equação é:
Substituindo e , temos:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^216 - y^264 = 1

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