Encontre a distância de P=(1,1,1) ao plano pi1: 2 x+3 y+4 z+8=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica. A gente precisa encontrar a distância entre o ponto e o plano . Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a distância D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto a um plano :
Essa fórmula basicamente pega a distância perpendicular do ponto até o plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que precisamos substituir na fórmula:
  • As coordenadas do ponto são , , .
  • Os coeficientes do plano são , , , e o termo constante é .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da distância:
D = |2(1) + 3(1) + 4(1) + 8|raiz2^2 + 3^2 + 4^2
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Calculando o numerador:
2(1) + 3(1) + 4(1) + 8 = 2 + 3 + 4 + 8 = 17
Então, o valor absoluto é .

Passo 6

Agora, calculando o denominador:
raiz2^2 + 3^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29

Resposta

A distância entre o ponto D = 17raiz29 approx 3,15 e o plano é:

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