Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O vértice V=(2,3) e o foco F=(-3,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente fazer o esboço do gráfico e escrever a equação de cada uma das parábolas sabendo que o vértice é e o foco é . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma linha chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.

Passo 3

Agora, observando as coordenadas do vértice e do foco , percebemos que ambos têm a mesma coordenada , ou seja, estão na mesma altura. Isso indica que a parábola é horizontal, ou seja, abre para a esquerda ou para a direita.

Passo 4

Vamos determinar a direção para qual a parábola abre. Como o foco está à esquerda do vértice ( ), a parábola abre para a esquerda.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o valor de p = xvértice - xfoco = 2 - (-3) = 5 , que é a distância entre o vértice e o foco. Calculando:
é
Como a parábola abre para a esquerda, usamos positivo.

Passo 6

A equação padrão da parábola horizontal que abre para a esquerda é:
(y - k)^2 = -4p(x - h)
Onde (y - 3)^2 = -4 times 5 times (x - 2) é o vértice. Substituindo (y - 3)^2 = -20(x - 2) , e :

Passo 7

Agora, para esboçar o gráfico, sabemos o vértice x = 2 + 5 = 7 e o foco . A parábola abre para a esquerda, e a diretriz estará à direita do vértice, a uma distância de . Então, a diretriz é:

Resposta

A equação da parábola é . O gráfico é uma parábola horizontal que abre para a esquerda, com vértice em e foco em .

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