Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer o esboço das extensões pares e ímpares da função definida no intervalo . Depois, precisamos determinar as séries de Fourier usando senos e cossenos para essas extensões. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de funções pares e ímpares, extensões periódicas dessas funções e as fórmulas das séries de Fourier para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são extensões pares e ímpares. Uma função par é aquela que satisfaz , ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Já uma função ímpar satisfaz , o que significa que é simétrica em relação à origem.

Passo 3

Vamos começar com a extensão par de . Como é uma função par, sua extensão par será uma função que se repete de forma simétrica em torno do eixo y para todo o eixo real. Basicamente, estendemos para mantendo a simetria.

Passo 4

Agora, a extensão ímpar de . Para isso, precisamos definir uma função que seja ímpar, ou seja, que satisfaça . Como é par, vamos multiplicar por uma função que altere o sinal, criando assim a simetria correta. No caso, a extensão ímpar de será uma função que se repete de forma simétrica em relação à origem.

Passo 5

Com as extensões par e ímpar definidas, vamos agora determinar as séries de Fourier correspondentes. Para a extensão par, usaremos a série de Fourier em termos de cossenos, já que funções pares podem ser representadas apenas por termos de cosseno. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par é:
Onde no nosso caso.

Passo 6

Calculando os coeficientes e para a extensão par:
Usando a identidade de produto para cossenos:
Então:
Como para qualquer inteiro , temos . Portanto, a série de Fourier para a extensão par de é simplesmente .

Passo 7

Agora, vamos para a extensão ímpar. A série de Fourier para uma função ímpar é representada apenas por senos, já que as funções ímpares são simétricas em relação à origem. A fórmula geral é:
Com .

Passo 8

Calculando os coeficientes para a extensão ímpar:
Usando a identidade de produto para seno e cosseno:
Então:
Calculando os limites:
Simplificando, considerando que :
Isso pode ser simplificado dependendo do valor de , mas em geral, os coeficientes não são todos zero, indicando que a série de Fourier ímpar de é mais complexa.

Resposta

A série de Fourier para a extensão par de no intervalo é simplesmente . Já para a extensão ímpar, a série de Fourier é composta por uma soma infinita de termos senoidais cujos coeficientes são calculados conforme demonstrado acima.

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, onde R é a região que está à esquerda do eixo dentro da circunferência .
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