Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer o esboço das extensões pares e ímpares da função
definida no intervalo
. Depois, precisamos determinar as séries de Fourier usando senos e cossenos para essas extensões. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de funções pares e ímpares, extensões periódicas dessas funções e as fórmulas das séries de Fourier para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são extensões pares e ímpares. Uma função par é aquela que satisfaz
, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Já uma função ímpar satisfaz
, o que significa que é simétrica em relação à origem.
Passo 3
Vamos começar com a extensão par de
. Como
é uma função par, sua extensão par será uma função que se repete de forma simétrica em torno do eixo y para todo o eixo real. Basicamente, estendemos
para
mantendo a simetria.
Passo 4
Agora, a extensão ímpar de
. Para isso, precisamos definir uma função que seja ímpar, ou seja, que satisfaça
. Como
é par, vamos multiplicar por uma função que altere o sinal, criando assim a simetria correta. No caso, a extensão ímpar de
será uma função que se repete de forma simétrica em relação à origem.
Passo 5
Com as extensões par e ímpar definidas, vamos agora determinar as séries de Fourier correspondentes. Para a extensão par, usaremos a série de Fourier em termos de cossenos, já que funções pares podem ser representadas apenas por termos de cosseno. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par é:
Onde
no nosso caso.
Passo 6
Calculando os coeficientes
e
para a extensão par:
Usando a identidade de produto para cossenos:
Então:
Como
para qualquer inteiro
, temos
. Portanto, a série de Fourier para a extensão par de
é simplesmente
.
Passo 7
Agora, vamos para a extensão ímpar. A série de Fourier para uma função ímpar é representada apenas por senos, já que as funções ímpares são simétricas em relação à origem. A fórmula geral é:
Com
.
Passo 8
Calculando os coeficientes
para a extensão ímpar:
Usando a identidade de produto para seno e cosseno:
Então:
Calculando os limites:
Simplificando, considerando que
:
Isso pode ser simplificado dependendo do valor de
, mas em geral, os coeficientes
não são todos zero, indicando que a série de Fourier ímpar de
é mais complexa.
Resposta
A série de Fourier para a extensão par de
no intervalo
é simplesmente
. Já para a extensão ímpar, a série de Fourier é composta por uma soma infinita de termos senoidais cujos coeficientes
são calculados conforme demonstrado acima.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde R é a região que está à esquerda do eixo
dentro da circunferência
.
Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
Considere a seguinte integral iterada
Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.
Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.