Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde R é a região que está à esquerda do eixo dentro da circunferência .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região está à esquerda do eixo e dentro da circunferência . Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos entender como converter a região e a integral para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação da circunferência para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares, e , então . Assim, a circunferência se torna , ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para . A região está à esquerda do eixo , o que significa que o ângulo varia de a . Portanto, .

Passo 4

Com isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
Aqui, varia de a , e varia de a . O termo é o jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para isso, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral vale .

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Abaixo do plano e acima da região limitada por .
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Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.