Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
integral duplaR cos (x^2+y^2) d A, onde R é a região que está à esquerda do eixo x e dentro da circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaR cos (x^2+y^2) d A, onde a região R está à esquerda do eixo x e dentro da circunferência x^2+y^2=9. Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos entender como converter a região e a integral para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação da circunferência para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta, então x^2+y^2 = r^2. Assim, a circunferência x^2+y^2=9 se torna r^2=9, ou seja, r=3.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para theta. A região R está à esquerda do eixo x, o que significa que o ângulo theta varia de pi2 a 3pi2. Portanto, pi2 <= theta <= 3pi2.

Passo 4

Com isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
integralpi2^3pi2 integral0^3 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a 3, e theta varia de pi2 a 3pi2. O termo r é o jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^3 r cos(r^2) , dr
Para isso, fazemos uma substituição. Seja u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2. Assim, a integral fica:
12 integral0^9 cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^9 = 12 ( sin(9) - sin(0) ) = 12 sin(9)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralpi2^3pi2 12 sin(9) , dtheta = 12 sin(9) integralpi2^3pi2 dtheta = 12 sin(9) ( 3pi2 - pi2 ) = 12 sin(9) cdot pi

Resposta

A integral vale pi2 cdot sin(9).

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