Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde R é a região que está à esquerda do eixo
dentro da circunferência
.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde a região
está à esquerda do eixo
e dentro da circunferência
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos entender como converter a região e a integral para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação da circunferência para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares,
e
, então
. Assim, a circunferência
se torna
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites para
. A região
está à esquerda do eixo
, o que significa que o ângulo
varia de
a
. Portanto,
.
Passo 4
Com isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
Aqui,
varia de
a
, e
varia de
a
. O termo
é o jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Para isso, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
Determine o volume do sólido dado:
Abaixo do plano e acima da região limitada por
.
Abaixo do plano
Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Considere a seguinte integral iterada
Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.