Considere a seguinte integral iterada
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 raiz(x^2+y^2+1) d y d x
Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla com limites de a para e de a para . A função que estamos integrando é . O objetivo aqui é converter essa integral para coordenadas polares e depois calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar saber como trocar de coordenadas cartesianas para polares e lembrar um pouco sobre integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas, usamos x = r cos(theta) e y = r sin(theta) e . Já nas polares, usamos (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo que o ponto forma com o eixo ). A relação entre elas é:
Também precisamos lembrar do jacobiano da transformação, que é o fator extra quando mudamos de variáveis em integrais duplas. No caso das coordenadas polares, o jacobiano é .

Passo 3

Agora, vamos adaptar os limites de integração para coordenadas polares. Olhando para os limites de de a e de de a , percebemos que estamos integrando sobre a metade de um círculo de raio no lado superior (onde ). Em coordenadas polares, isso corresponde a variando de a e variando de a .

Passo 4

Substituindo as coordenadas cartesianas por polares na integral original, temos:
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 raizx^2+y^2+1 , dy , dx = integral0^pi integral0^3 raizr^2 + 1 cdot r , dr , dtheta
Aqui, vira porque .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^3 r raizr^2 + 1 , dr :
u = r^2 + 1 Rightarrow du = 2r , dr Rightarrow r , dr = du2
Para isso, fazemos uma substituição:
12 integral1^10 raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 |1^10 = 13 (10^3/2 - 1)
Substituindo na integral:
13 (10 raiz10 - 1)
Sabendo que , temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi 10 raiz10 - 13 , dtheta = 10 raiz10 - 13 cdot theta |0^pi = 10 raiz10 - 13 cdot pi :

Resposta

A integral vale .

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