Considere a seguinte integral iterada
Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla com limites de a para e de a para . A função que estamos integrando é . O objetivo aqui é converter essa integral para coordenadas polares e depois calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar saber como trocar de coordenadas cartesianas para polares e lembrar um pouco sobre integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas, usamos e . Já nas polares, usamos (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo que o ponto forma com o eixo ). A relação entre elas é:
Também precisamos lembrar do jacobiano da transformação, que é o fator extra quando mudamos de variáveis em integrais duplas. No caso das coordenadas polares, o jacobiano é .

Passo 3

Agora, vamos adaptar os limites de integração para coordenadas polares. Olhando para os limites de de a e de de a , percebemos que estamos integrando sobre a metade de um círculo de raio no lado superior (onde ). Em coordenadas polares, isso corresponde a variando de a e variando de a .

Passo 4

Substituindo as coordenadas cartesianas por polares na integral original, temos:
Aqui, vira porque .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde R é a região que está à esquerda do eixo dentro da circunferência .
Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.