Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de encontrar a série de Fourier da função
definida no intervalo
e que se repete periodicamente a cada 2 unidades, ou seja,
. Vamos usar os conceitos de séries de Fourier para resolver isso. Precisamos determinar os coeficientes da série e, depois, montar a expressão final da série de Fourier dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é par ou ímpar, porque isso simplifica os cálculos dos coeficientes. Uma função é par se
e ímpar se
.
Calculando:
Isso mostra que
é uma função ímpar. Portanto, na série de Fourier, só teremos os termos de seno, pois as funções ímpares não possuem componentes pares.
Passo 3
A série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo simétrico
é dada por:
No nosso caso, o período é 2, então
. Portanto, a série fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular os coeficientes
. Para funções ímpares, os coeficientes são dados por:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver a integral separadamente para
e
:
Passo 6
Para integrar
, usamos integração por partes onde:
Aplicando:
Avaliado de 0 a 1:
Sabendo que
e
:
Passo 7
Agora, para integrar
, usamos integração por partes três vezes ou aplicamos uma fórmula padrão. O resultado é:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 8
Substituindo as integrais no coeficiente
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, substituímos os coeficientes
na série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier da função
, periódica com período 2, é dada por:
O gráfico dessa série será uma aproximação da função original, composta por somas de funções seno com amplitudes decrescentes conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte integral iterada
Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.
Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.