Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de encontrar a série de Fourier da função definida no intervalo e que se repete periodicamente a cada 2 unidades, ou seja, . Vamos usar os conceitos de séries de Fourier para resolver isso. Precisamos determinar os coeficientes da série e, depois, montar a expressão final da série de Fourier dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar, porque isso simplifica os cálculos dos coeficientes. Uma função é par se e ímpar se .
Calculando:
Isso mostra que é uma função ímpar. Portanto, na série de Fourier, só teremos os termos de seno, pois as funções ímpares não possuem componentes pares.

Passo 3

A série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo simétrico é dada por:
No nosso caso, o período é 2, então . Portanto, a série fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular os coeficientes . Para funções ímpares, os coeficientes são dados por:
Substituindo :

Passo 5

Vamos resolver a integral separadamente para e :

Passo 6

Para integrar , usamos integração por partes onde:
Aplicando:
Avaliado de 0 a 1:
Sabendo que e :

Passo 7

Agora, para integrar , usamos integração por partes três vezes ou aplicamos uma fórmula padrão. O resultado é:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Substituindo as integrais no coeficiente :
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, substituímos os coeficientes na série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier da função , periódica com período 2, é dada por:
O gráfico dessa série será uma aproximação da função original, composta por somas de funções seno com amplitudes decrescentes conforme aumenta.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte integral iterada
Converta a integral dada para coordenadas polares e calcule-a.
Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.