Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função
definida no intervalo
e que se repete a cada intervalo de 2 unidades, ou seja,
. Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Vamos simplificar isso:
Para
:
Sabemos que
é igual a
se
e
se
. Então, podemos reescrever
como:
Então, a função é uma parábola que está de cabeça para baixo para
e para cima para
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier. A série de Fourier para uma função periódica com período
é dada por:
onde
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Como a função é par, apenas os termos de cosseno (série de Fourier de uma função par) terão coeficientes não nulos. Portanto, todos os
serão zero.
Vamos calcular
:
Simplificando:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais, resultando em:
Passo 4
Agora que temos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier completa:
Onde:
Então, a série simplifica para:
Resposta
A série de Fourier da função
para
e
é dada por:
Para esboçar o gráfico, observe que a função é composta por parábolas invertidas e direcionadas para cima, repetidas a cada intervalo de 2 unidades, e a série de Fourier aproxima essa forma combinando diferentes ondas de cosseno com amplitudes ajustadas conforme os coeficientes encontrados.
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Determine o volume do sólido dado:
Abaixo do plano e acima da região limitada por
.
Abaixo do plano
Calcule a integral iterada:
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde R é a região que está à esquerda do eixo
dentro da circunferência
.
Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.