Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função definida no intervalo e que se repete a cada intervalo de 2 unidades, ou seja, . Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Vamos simplificar isso:
Para :
Sabemos que é igual a se e se . Então, podemos reescrever como:
Então, a função é uma parábola que está de cabeça para baixo para e para cima para .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier. A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
onde .
Primeiro, vamos encontrar :
Como a função é par, apenas os termos de cosseno (série de Fourier de uma função par) terão coeficientes não nulos. Portanto, todos os serão zero.
Vamos calcular :
Simplificando:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais, resultando em:

Passo 4

Agora que temos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier completa:
Onde:
çãéí
Então, a série simplifica para:

Resposta

A série de Fourier da função para e é dada por:
Para esboçar o gráfico, observe que a função é composta por parábolas invertidas e direcionadas para cima, repetidas a cada intervalo de 2 unidades, e a série de Fourier aproxima essa forma combinando diferentes ondas de cosseno com amplitudes ajustadas conforme os coeficientes encontrados.

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Determine o volume do sólido dado:
Abaixo do plano e acima da região limitada por .
Calcule a integral iterada:
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde R é a região que está à esquerda do eixo dentro da circunferência .
Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.