Calcular as derivadas das expressőes abaixo, usando as fórmulas de derivação:

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e o desafio é encontrar a derivada dessa expressão. Isso cai dentro do conteúdo de derivadas na matemática, especificamente usando a regra da cadeia, que é super útil para derivar funções compostas como essa. Vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada: basicamente, ela nos diz a taxa de variação de uma função em relação a uma variável, nesse caso, . Para encontrar , vamos usar a regra da cadeia porque temos uma função dentro de outra função.

Passo 3

Vamos identificar as funções dentro da composição. Aqui, a função externa é e a função interna é . A regra da cadeia diz que .

Passo 4

Vamos calcular . Se , então a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que , então a derivada de em relação a é:

Passo 6

Finalmente, aplicando a regra da cadeia, juntamos as duas derivadas que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.