Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
f)
, para uma matriz
fixa.
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subconjunto do espaço vetorial
e, mais especificamente, se ele é um subespaço de
.
Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes
com entradas em
, ou seja,
. O conjunto
é formado por todas as matrizes
que comutam com uma matriz fixada
, ou seja:
Para determinar se
é um subespaço de
, precisamos verificar três coisas:
- Se o vetor zero de
está em . - Se
é fechado sob adição (se e estão em , então também está em ). - Se
é fechado sob multiplicação por escalar (se está em e é um escalar, então também está em ).
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo!
Passo 2
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero no espaço das matrizes
é a matriz onde todas as entradas são zero, chamada de matriz nula, denotada por
.
Vamos ver se
. Para isso, precisamos verificar se:
Calculando:
Então,
, o que significa que a matriz zero comuta com
. Logo,
.
Passo 3
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos supor que
e
são duas matrizes em
. Isso significa que:
Queremos verificar se
também está em
, ou seja, se:
Vamos calcular ambos os lados:
Como
e
comutam com
, temos:
Substituindo:
Portanto:
Isso mostra que
também comuta com
, ou seja,
.
Passo 4
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz
e um escalar
. Queremos verificar se
também está em
, ou seja, se:
Calculando ambos os lados:
Como
comuta com
, temos
. Substituindo:
Logo:
Isso mostra que
também comuta com
, ou seja,
.
Resposta
Como todas as condições para ser um subespaço foram satisfeitas, concluímos que
é um subespaço de
.