Em cada um dos casos verifique se o conjunto W contido no espaço vetorial V é um subespaço do espaço vetorial V. Lembramos aqui que F[x] são os polinômios em F, C^1(R) são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de R em R.
f) W=A in Mn(F) mid A B=B A, V=Mn(F), para uma matriz B in Mn(F) fixa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto W = A in Mn(F) mid A B = B A é um subconjunto do espaço vetorial e, mais especificamente, se ele é um subespaço de .
Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com entradas em , ou seja, . O conjunto é formado por todas as matrizes que comutam com uma matriz fixada , ou seja:
Para determinar se é um subespaço de , precisamos verificar três coisas:
  1. Se o vetor zero de está em .
  2. Se é fechado sob adição (se e estão em , então também está em ).
  3. Se é fechado sob multiplicação por escalar (se está em e é um escalar, então também está em ).
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo!

Passo 2

1. Verificando se o vetor zero está em 0 cdot B = B cdot 0 :
O vetor zero no espaço das matrizes 0 cdot B = 0 é a matriz onde todas as entradas são zero, chamada de matriz nula, denotada por B cdot 0 = 0 .
Vamos ver se . Para isso, precisamos verificar se:
Calculando:
Então, , o que significa que a matriz zero comuta com . Logo, .

Passo 3

2. Verificando se A B = B A e C B = B C é fechado sob adição:
Vamos supor que (A + C) B = B (A + C) e (A + C) B = A B + C B são duas matrizes em B (A + C) = B A + B C . Isso significa que:
A B = B A e C B = B C
Queremos verificar se A B + C B = B A + B C também está em (A + C) B = B (A + C) , ou seja, se:
Vamos calcular ambos os lados:
Como e comutam com , temos:
Substituindo:
Portanto:
Isso mostra que também comuta com , ou seja, .

Passo 4

3. Verificando se (cA) B = B (cA) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz (cA) B = c (A B) e um escalar B (cA) = c (B A) . Queremos verificar se c (A B) = c (B A) também está em (cA) B = B (cA) , ou seja, se:
Calculando ambos os lados:
Como comuta com , temos . Substituindo:
Logo:
Isso mostra que também comuta com , ou seja, .

Resposta

Como todas as condições para ser um subespaço foram satisfeitas, concluímos que é um subespaço de .

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