Sejam V=F(R, R) o espaço vetorial de todas as funções reais e r in R+^* fixado. Mostre que o conjunto
Wr=f in V: f(x)=0, forall x in[-r, r]
é um subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente mostrar que o conjunto , que é formado por todas as funções reais que são iguais a zero no intervalo , é um subespaço do espaço vetorial (todas as funções reais de para ). Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço e quais propriedades ele precisa ter.

Passo 2

Primeiro, pra um conjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero (no nosso caso, a função que é zero em todo lugar).
  2. É fechado em relação à adição (se você pegar duas funções no e somar, o resultado também precisa estar no ).
  3. É fechado em relação à multiplicação por escalar (se você multiplicar uma função no por qualquer número real, o resultado também precisa estar no ).
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero aqui é a função para todo . Claramente, essa função satisfaz em , então ela está em . Pronto, a primeira condição é atendida!

Passo 4

2. Fechamento pela adição:
Vamos pegar duas funções f(x) = 0 e g(x) = 0 forall x in [-r, r] e (f + g)(x) = f(x) + g(x) que estão em (f + g)(x) = 0 + 0 = 0 forall x in [-r, r] . Isso significa que:
Agora, vamos somar essas duas funções:
Como e nesse intervalo, temos:
Então, também está em . Portanto, é fechado pela adição.

Passo 5

3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função (c cdot f)(x) = c cdot f(x) que está em (c cdot f)(x) = c cdot 0 = 0 forall x in [-r, r] e um escalar qualquer real. Queremos ver se também está em .
Multiplicando a função por :
Como em , temos:
Logo, também está em . Assim, é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .

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