Sejam
o espaço vetorial de todas as funções reais e
fixado. Mostre que o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente mostrar que o conjunto
, que é formado por todas as funções reais
que são iguais a zero no intervalo
, é um subespaço do espaço vetorial
(todas as funções reais de
para
). Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço e quais propriedades ele precisa ter.
Passo 2
Primeiro, pra um conjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero (no nosso caso, a função que é zero em todo lugar).
- É fechado em relação à adição (se você pegar duas funções no
e somar, o resultado também precisa estar no ). - É fechado em relação à multiplicação por escalar (se você multiplicar uma função no
por qualquer número real, o resultado também precisa estar no ).
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero aqui é a função para todo
. Claramente, essa função satisfaz
em
, então ela está em
. Pronto, a primeira condição é atendida!
O vetor zero aqui é a função
Passo 4
2. Fechamento pela adição:
Vamos pegar duas funções e
que estão em
. Isso significa que:
Vamos pegar duas funções
Agora, vamos somar essas duas funções:
Como
e
nesse intervalo, temos:
Então,
também está em
. Portanto,
é fechado pela adição.
Passo 5
3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função que está em
e um escalar
qualquer real. Queremos ver se
também está em
.
Agora, vamos pegar uma função
Multiplicando a função por
:
Como
em
, temos:
Logo,
também está em
. Assim,
é fechado pela multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, um subespaço de
.