Ao resolver os três itens abaixo, discuta sempre o seu resultado no contexto do conceito de casualidade (i.e., efeitos não podem acontecer antes de suas causas).
Sejam dois eventos que acontecem no mesmo instante com uma separação num dado referencial . Mostre que a separação temporal entre esses eventos pode assumir qualquer valor em diferentes referenciais inerciais, mas que a menor separação espacial medida entre os dois será justamente .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois eventos que acontecem ao mesmo tempo, mas estão separados por uma distância em um referencial . A gente vai usar conceitos de Relatividade Especial, especialmente transformações de Lorentz, para ver como essa separação temporal muda em outros referenciais que estão se movendo em relação ao . Precisamos entender como tempo e espaço se transformam quando mudamos de referencial, sempre cuidando para respeitar a casualidade, ou seja, que efeitos não aconteçam antes das suas causas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que no referencial , os dois eventos acontecem simultaneamente, ou seja, no mesmo instante de tempo , mas estão separados por uma distância espacial . Queremos ver como essa separação temporal muda em outro referencial que está se movendo em relação a com uma velocidade .

Passo 3

Para fazer isso, vamos usar as transformações de Lorentz, que relacionam as coordenadas espaço-tempo de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante relativa. As fórmulas são:
Onde é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.

Passo 4

Como no referencial os eventos são simultâneos, temos . Substituindo na equação da transformação de tempo:
Então, a separação temporal no referencial depende da velocidade . Isso significa que, variando , podemos fazer assumir qualquer valor, positivo ou negativo.

Passo 5

Agora, para mostrar que a separação temporal pode ser qualquer valor, observamos que ao aumentar ou diminuir , especialmente próximo a , o valor de aumenta, fazendo com que também aumente em magnitude. Além disso, mudando o sinal de , podemos fazer positivo ou negativo.

Passo 6

Quanto à separação espacial mínima, vamos analisar . Substituindo na equação de :
Como , então . Isso mostra que a menor separação espacial ocorre no referencial , onde é a mínima possível.

Passo 7

Por fim, falando sobre causalidade: se as separações espaiais fossem menores em outro referencial, isso poderia levar a situações onde efeitos precedem causas, violando a causalidade. Porém, como a separação espacial mínima está garantida no referencial onde os eventos são simultâneos, a causalidade é preservada.

Resposta

A separação temporal entre os dois eventos pode variar para qualquer valor em diferentes referenciais inerciais devido às transformações de Lorentz, enquanto a menor separação espacial entre eles é exatamente , garantindo a preservação da causalidade.

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Seja um espaço vetoriais real. Sejam e dois subespaços vetoriais de . Mostre que é, ainda, um subespaço vetorial de .
Ao resolver os três itens abaixo, discuta sempre o seu resultado no contexto do conceito de casualidade (i.e., efeitos não podem acontecer antes de suas causas).
Se dois eventos acontecem no mesmo local num dado referencial inercial S, mostre que sua ordem temporal será a mesma para qualquer outro referencial inercial, e que o menor intervalo de tempo medido entre os dois referenciais será em S .
Expressar o vetor como combinação linear dos vetores e
Em cada um dos casos verifique se o conjunto contido no espaço vetorial é um subespaço do espaço vetorial . Lembramos aqui que são os polinômios em são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de em .
f) , para uma matriz fixa.