Ao resolver os três itens abaixo, discuta sempre o seu resultado no contexto do conceito de casualidade (i.e., efeitos não podem acontecer antes de suas causas).
Sejam dois eventos que acontecem no mesmo instante com uma separação De num dado referencial S. Mostre que a separação temporal entre esses eventos pode assumir qualquer valor em diferentes referenciais inerciais, mas que a menor separação espacial medida entre os dois será justamente De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois eventos que acontecem ao mesmo tempo, mas estão separados por uma distância De em um referencial S. A gente vai usar conceitos de Relatividade Especial, especialmente transformações de Lorentz, para ver como essa separação temporal muda em outros referenciais que estão se movendo em relação ao S. Precisamos entender como tempo e espaço se transformam quando mudamos de referencial, sempre cuidando para respeitar a casualidade, ou seja, que efeitos não aconteçam antes das suas causas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que no referencial S, os dois eventos acontecem simultaneamente, ou seja, no mesmo instante de tempo t = t' = 0, mas estão separados por uma distância espacial De. Queremos ver como essa separação temporal muda em outro referencial S' que está se movendo em relação a S com uma velocidade v.

Passo 3

Para fazer isso, vamos usar as transformações de Lorentz, que relacionam as coordenadas espaço-tempo de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante relativa. As fórmulas são:
De
De
Onde gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz e c é a velocidade da luz.

Passo 4

Como no referencial S os eventos são simultâneos, temos De. Substituindo na equação da transformação de tempo:
De
Então, a separação temporal De no referencial S' depende da velocidade v. Isso significa que, variando v, podemos fazer De assumir qualquer valor, positivo ou negativo.

Passo 5

Agora, para mostrar que a separação temporal pode ser qualquer valor, observamos que ao aumentar ou diminuir v, especialmente próximo a c, o valor de gamma aumenta, fazendo com que De também aumente em magnitude. Além disso, mudando o sinal de v, podemos fazer De positivo ou negativo.

Passo 6

Quanto à separação espacial mínima, vamos analisar De. Substituindo De na equação de De:
De
Como gamma >= 1, então De= De. Isso mostra que a menor separação espacial ocorre no referencial S, onde De é a mínima possível.

Passo 7

Por fim, falando sobre causalidade: se as separações espaiais fossem menores em outro referencial, isso poderia levar a situações onde efeitos precedem causas, violando a causalidade. Porém, como a separação espacial mínima está garantida no referencial onde os eventos são simultâneos, a causalidade é preservada.

Resposta

A separação temporal entre os dois eventos pode variar para qualquer valor em diferentes referenciais inerciais devido às transformações de Lorentz, enquanto a menor separação espacial entre eles é exatamente De, garantindo a preservação da causalidade.

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