Expressar o vetor u=(-1,4,-4,6) em R^4 como combinação linear dos vetores v1=(3,-3,1,0), v2=(0,1,-1,2) e v3=(1,-1,0,0)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos expressar o vetor em como uma combinação linear dos vetores , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como montar e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Para expressar u = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 como combinação linear de (-1, 4, -4, 6) = a cdot (3, -3, 1, 0) + b cdot (0, 1, -1, 2) + c cdot (1, -1, 0, 0) , e , buscamos coeficientes escalares , e tais que:
Isso significa que:

Passo 3

Vamos quebrar essa equação em componentes para montar um sistema de equações. Igualando cada componente correspondente, temos:
-1 = 3a + 0b + 1c 4 = -3a + 1b - 1c -4 = 1a - 1b + 0c 6 = 0a + 2b + 0c
Simplificando, o sistema fica:
-1 = 3a + c 4 = -3a + b - c -4 = a - b 6 = 2b

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da última equação:
    6 = 2b implies b = 3
  2. Substituindo -4 = a - 3 implies a = -1 na terceira equação:
    -1 = 3(-1) + c implies -1 = -3 + c implies c = 2
  3. Substituindo 4 = -3(-1) + 3 - 2 implies 4 = 3 + 3 - 2 implies 4 = 4 (confere) na primeira equação:
  4. Verificando na segunda equação:

Resposta

Portanto, o vetor u = (-1) cdot v1 + 3 cdot v2 + 2 cdot v3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores dados da seguinte forma:

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