Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em
. O conjunto
é definido como
, ou seja, todos os polinômios de grau maior ou igual a 2. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O subconjunto deve incluir o vetor identidade do espaço, que no caso de polinômios é o polinômio zero.
- Fechado para adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é o polinômio zero, que pode ser escrito como
. O grau do polinômio zero não está definido ou é frequentemente considerado como sendo menor que qualquer número real, então não satisfaz
. Portanto, o polinômio zero não está em
.
Passo 4
2. Verificando a condição de fechamento para adição:
Mesmo que
não contenha o vetor zero, vamos supor que temos dois polinômios
e
em
, ou seja,
e
. Ao somar
, o grau resultante pode ser maior ou igual a 2, mas também pode ser menor se os termos de maior grau se cancelarem. Portanto, não podemos garantir que
estará sempre em
.
Passo 5
3. Verificando a condição de fechamento para multiplicação por escalar:
Se tomarmos um polinômio
em
e multiplicarmos por um escalar
, o polinômio resultante
terá o mesmo grau que
(desde que
). Assim,
também terá grau maior ou igual a 2, o que significa que esta condição é satisfeita.
Passo 6
Apesar de
satisfazer a condição de fechamento para multiplicação por escalar, ele não contém o vetor zero e não é necessariamente fechado para adição. Portanto,
não é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço do espaço vetorial
.