Em cada um dos casos verifique se o conjunto W contido no espaço vetorial V é um subespaço do espaço vetorial V. Lembramos aqui que F[x] são os polinômios em F, C^1(R) são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de R em R.
c) W=p(t) in F[x] mid grau(p) >= 2, V=F[x].

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em . O conjunto é definido como , ou seja, todos os polinômios de grau maior ou igual a 2. Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O subconjunto deve incluir o vetor identidade do espaço, que no caso de polinômios é o polinômio zero.
  2. Fechado para adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio zero, que pode ser escrito como . O grau do polinômio zero não está definido ou é frequentemente considerado como sendo menor que qualquer número real, então não satisfaz . Portanto, o polinômio zero não está em .

Passo 4

2. Verificando a condição de fechamento para adição:
Mesmo que não contenha o vetor zero, vamos supor que temos dois polinômios e em , ou seja, e . Ao somar , o grau resultante pode ser maior ou igual a 2, mas também pode ser menor se os termos de maior grau se cancelarem. Portanto, não podemos garantir que estará sempre em .

Passo 5

3. Verificando a condição de fechamento para multiplicação por escalar:
Se tomarmos um polinômio em e multiplicarmos por um escalar , o polinômio resultante terá o mesmo grau que (desde que ). Assim, também terá grau maior ou igual a 2, o que significa que esta condição é satisfeita.

Passo 6

Apesar de satisfazer a condição de fechamento para multiplicação por escalar, ele não contém o vetor zero e não é necessariamente fechado para adição. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

O conjunto não é um subespaço do espaço vetorial .

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