Considere os vetores
, com
. Mostre que o conjunto
é linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no plano,
e
, onde
não é zero. O que a gente precisa mostrar é que o conjunto
é linearmente independente. Isso significa que não tem como nenhum dos vetores ser uma combinação linear do outro, ou seja, não existe nenhum número que multiplique um vetor para dar o outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação
é
e
. Se existe alguma outra solução, aí o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores que temos:
Isso dá duas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos escrever isso em forma de matriz:
[
]
Para que a única solução seja
, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante:
Como
, o determinante é diferente de zero (
). Isso significa que o único valor para
e
que satisfaz o sistema é
e
.
Resposta
Portanto, como a única solução para
é
e
, concluímos que o conjunto
é linearmente independente.