Considere os vetores u=(1-a, 1+a), v=(1+a, 1-a) in R^2, com a neq 0. Mostre que o conjunto u, v é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no plano, u = (1 - a, 1 + a) e v = (1 + a, 1 - a), onde a não é zero. O que a gente precisa mostrar é que o conjunto u, v é linearmente independente. Isso significa que não tem como nenhum dos vetores ser uma combinação linear do outro, ou seja, não existe nenhum número que multiplique um vetor para dar o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação c1 cdot u + c2 cdot v = 0 é c1 = 0 e c2 = 0. Se existe alguma outra solução, aí o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores que temos:
c1 cdot (1 - a, 1 + a) + c2 cdot (1 + a, 1 - a) = (0, 0)
Isso dá duas equações:
c1 cdot (1 - a) + c2 cdot (1 + a) = 0 (1)
c1 cdot (1 + a) + c2 cdot (1 - a) = 0 (2)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos escrever isso em forma de matriz:
[
1 - a & 1 + a 1 + a & 1 - a c1 c2 = 0 0
c1 = c2 = 0

det = (1 - a)(1 - a) - (1 + a)(1 + a) = (1 - 2a + a^2) - (1 + 2a + a^2) = -4a
]
Para que a única solução seja a neq 0, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante:
-4a neq 0
Como c1, o determinante é diferente de zero ( c2). Isso significa que o único valor para c1 = 0 e c2 = 0 que satisfaz o sistema é e .

Resposta

Portanto, como a única solução para c1 cdot u + c2 cdot v = 0 é c1 = 0 e c2 = 0, concluímos que o conjunto u, v é linearmente independente.

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