Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
a) pode ser escrito de infinitas formas diferentes como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores: , , e . A questão pede pra gente descobrir se é verdade que o vetor zero () pode ser expresso de infinitas maneiras como uma combinação linear dos vetores , e . Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma combinação linear? É quando a gente pega múltiplos vetores, multiplica cada um por um número (chamado de escalares) e soma tudo. No nosso caso, queremos encontrar números , e tais que:
Como é o vetor zero, a equação fica:
Passo 3
Agora, para saber se há infinitas soluções para , e , precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes ou dependentes.
Vetores linearmente independentes: Só têm a solução trivial ().
Vetores linearmente dependentes: Têm infinitas soluções além da trivial.
Passo 4
Vamos montar uma matriz com esses vetores para calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Como o determinante é zero, isso significa que os vetores v2, v3 e v4 são linearmente dependentes. Portanto, existem infinitas combinações lineares desses vetores que resultam no vetor zero.
Resposta
Verdadeiro. O vetor v1 pode ser escrito de infinitas formas diferentes como combinação linear de v2, v3 e v4 porque esses vetores são linearmente dependentes.