Sejam v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2), v4=(0,1,0) e v5=(1,1,1). Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
a) v1 pode ser escrito de infinitas formas diferentes como combinação linear de v2, v3 e v4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores: v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2) e v4=(0,1,0). A questão pede pra gente descobrir se é verdade que o vetor zero ( v1) pode ser expresso de infinitas maneiras como uma combinação linear dos vetores v2, v3 e v4. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma combinação linear? É quando a gente pega múltiplos vetores, multiplica cada um por um número (chamado de escalares) e soma tudo. No nosso caso, queremos encontrar números c2, c3 e c4 tais que:
c2v2 + c3v3 + c4v4 = v1
Como v1 é o vetor zero, a equação fica:
c2v2 + c3v3 + c4v4 = (0,0,0)

Passo 3

Agora, para saber se há infinitas soluções para c2, c3 e c4, precisamos verificar se os vetores v2, v3 e v4 são linearmente independentes ou dependentes.
  • Vetores linearmente independentes: Só têm a solução trivial ( c2=c3=c4=0).
  • Vetores linearmente dependentes: Têm infinitas soluções além da trivial.

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores para calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
-1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 2 & 2 & 0
Calculando o determinante:
-1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 2) - (-1) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 2) + 0 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 2) = (-1)(-2) - (-1)(-2) + 0(-2) = 2 - 2 + 0 = 0

Passo 5

Como o determinante é zero, isso significa que os vetores v2, v3 e v4 são linearmente dependentes. Portanto, existem infinitas combinações lineares desses vetores que resultam no vetor zero.

Resposta

Verdadeiro. O vetor v1 pode ser escrito de infinitas formas diferentes como combinação linear de v2, v3 e v4 porque esses vetores são linearmente dependentes.

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