Sejam os vetores
e
.
b) É possível escrever o vetor
como combinação linear de
e
?
b) É possível escrever o vetor
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é o seguinte: a questão está falando sobre combinação linear de vetores, que é um conceito da álgebra linear. A gente precisa descobrir se dá para escrever o vetor
usando uma combinação dos vetores
e
. Basicamente, queremos achar números que, quando multiplicados por
e
e somados, deem exatamente
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Se a gente tem vetores
e
, uma combinação linear deles é qualquer vetor que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. Nosso objetivo é encontrar esses números
e
que satisfaçam a equação:
Passo 3
Vamos substituir os vetores na equação:
Isso resulta em duas equações, uma para cada componente do vetor:
- Para a primeira coordenada:
- Para a segunda coordenada:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para encontrar uma expressão para
:
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de
na primeira equação:
Passo 7
A última equação
é sempre verdadeira, o que significa que o sistema tem infinitely muitas soluções. Isso quer dizer que existem vários valores de
e
que satisfazem as equações.
Passo 8
Para simplificar, vamos escolher um valor para
. Por exemplo, se escolhermos
, então:
Passo 9
Portanto, uma combinação linear que funciona é:
Isso significa que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Resposta
Sim, é possível escrever o vetor
como uma combinação linear de
e
, por exemplo: