Sejam os vetores u=(3,-1) e v=(-6,2).
b) É possível escrever o vetor w=(2,-23) como combinação linear de u e v ?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é o seguinte: a questão está falando sobre combinação linear de vetores, que é um conceito da álgebra linear. A gente precisa descobrir se dá para escrever o vetor w = (2, -23) usando uma combinação dos vetores u = (3, -1) e v = (-6, 2). Basicamente, queremos achar números que, quando multiplicados por u e v e somados, deem exatamente w.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Se a gente tem vetores u e v, uma combinação linear deles é qualquer vetor que pode ser escrito como au + bv, onde a e b são números reais. Nosso objetivo é encontrar esses números a e b que satisfaçam a equação:
a cdot u + b cdot v = w

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
a cdot (3, -1) + b cdot (-6, 2) = (2, -23)
Isso resulta em duas equações, uma para cada componente do vetor:
  1. Para a primeira coordenada: 3a - 6b = 2
  2. Para a segunda coordenada: -a + 2b = -23

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações lineares:
3a - 6b = 2 -a + 2b = -23
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para encontrar uma expressão para a:
-a + 2b = -23 Rightarrow a = 2b + 23

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de a na primeira equação:
3(2b + 23) - 6b = 2 6b + 2 - 6b = 2 2 = 2

Passo 7

A última equação 2 = 2 é sempre verdadeira, o que significa que o sistema tem infinitely muitas soluções. Isso quer dizer que existem vários valores de a e b que satisfazem as equações.

Passo 8

Para simplificar, vamos escolher um valor para b. Por exemplo, se escolhermos b = 0, então:
a = 2 cdot 0 + 23 = 23

Passo 9

Portanto, uma combinação linear que funciona é:
w = 23 cdot u + 0 cdot v
Isso significa que o vetor w pode ser escrito como uma combinação linear de u e v.

Resposta

Sim, é possível escrever o vetor w = (2, -23) como uma combinação linear de u e v, por exemplo:
w = 23 cdot u + 0 cdot v

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