Sejam os vetores e .
b) É possível escrever o vetor como combinação linear de e ?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é o seguinte: a questão está falando sobre combinação linear de vetores, que é um conceito da álgebra linear. A gente precisa descobrir se dá para escrever o vetor usando uma combinação dos vetores e . Basicamente, queremos achar números que, quando multiplicados por e e somados, deem exatamente .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Se a gente tem vetores e , uma combinação linear deles é qualquer vetor que pode ser escrito como , onde e são números reais. Nosso objetivo é encontrar esses números e que satisfaçam a equação:
Passo 3
Vamos substituir os vetores na equação:
Isso resulta em duas equações, uma para cada componente do vetor:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para encontrar uma expressão para :
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de na primeira equação:
Passo 7
A última equação é sempre verdadeira, o que significa que o sistema tem infinitely muitas soluções. Isso quer dizer que existem vários valores de e que satisfazem as equações.
Passo 8
Para simplificar, vamos escolher um valor para . Por exemplo, se escolhermos , então:
Passo 9
Portanto, uma combinação linear que funciona é:
Isso significa que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Resposta
Sim, é possível escrever o vetor como uma combinação linear de e , por exemplo: