Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
e)
inversível
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas no campo
, e
, que é o subconjunto de
formado pelas matrizes inversíveis. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Vamos precisar lembrar das condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. No contexto de matrizes, o vetor zero é a matriz nula, aquela onde todos os elementos são zero. Uma matriz inversível deve ter um determinante diferente de zero. A matriz nula, no entanto, tem determinante zero e, portanto, não é inversível. Isso já nos dá um problema, pois para ser um subespaço,
precisa conter o vetor zero.
Passo 3
Mesmo que
não contenha o vetor zero, vamos continuar verificando as outras condições para entender melhor. A segunda condição é que
seja fechado para adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes inversíveis
e
, a soma
também deve ser inversível. Mas, na prática, a soma de duas matrizes inversíveis nem sempre é inversível. Por exemplo, considere duas matrizes inversíveis
e
. Sua soma é a matriz nula, que não é inversível.
Passo 4
Finalmente, a última condição é que
seja fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se
é inversível e
é um escalar, então
também deve ser inversível. Isso é verdade, desde que
, pois o determinante de
é
. Se
,
é a matriz nula, que não é inversível.
Resposta
Como
não contém a matriz zero, não é fechado para adição e nem para multiplicação por escalar com
, concluímos que
não é um subespaço do espaço vetorial
.