Em cada um dos casos verifique se o conjunto W contido no espaço vetorial V é um subespaço do espaço vetorial V. Lembramos aqui que F[x] são os polinômios em F, C^1(R) são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de R em R.
e) W=A in Mn(F) mid A inversível , V=Mn(F).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas no campo , e , que é o subconjunto de formado pelas matrizes inversíveis. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Vamos precisar lembrar das condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. No contexto de matrizes, o vetor zero é a matriz nula, aquela onde todos os elementos são zero. Uma matriz inversível deve ter um determinante diferente de zero. A matriz nula, no entanto, tem determinante zero e, portanto, não é inversível. Isso já nos dá um problema, pois para ser um subespaço, precisa conter o vetor zero.

Passo 3

Mesmo que não contenha o vetor zero, vamos continuar verificando as outras condições para entender melhor. A segunda condição é que seja fechado para adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes inversíveis e , a soma também deve ser inversível. Mas, na prática, a soma de duas matrizes inversíveis nem sempre é inversível. Por exemplo, considere duas matrizes inversíveis e . Sua soma é a matriz nula, que não é inversível.

Passo 4

Finalmente, a última condição é que seja fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se é inversível e é um escalar, então também deve ser inversível. Isso é verdade, desde que , pois o determinante de é . Se , é a matriz nula, que não é inversível.

Resposta

Como não contém a matriz zero, não é fechado para adição e nem para multiplicação por escalar com , concluímos que não é um subespaço do espaço vetorial .

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