Escreva, se possível, como combinação linear de e : e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Isso significa que queremos encontrar números (chamados de coeficientes) , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações que relaciona as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear explicitamente:
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e :
Simplificando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar o a:
a = 5 - b
Agora, substituímos esse valor de a nas outras duas equações.
Passo 5
Substituindo a = 5 - b na primeira equação:
(5 - b) + 2b - c = 3
Simplificando:
5 + b - c = 3 b - c = -2 (Equação 1) çã
E substituindo a = 5 - b na terceira equação:
3(5 - b) + 2b + c = 2 15 - 3b + 2b + c = 2 15 - b + c = 2 -b + c = -13 (Equação 2) çã
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
b - c = -2 -b + c = -13
Vamos somar as duas equações para eliminar o c:
(b - c) + (-b + c) = -2 + (-13) 0 = -15
Ops! Isso não faz sentido. Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.
Passo 7
Revisando a substituição na terceira equação:
3a + 2b + c = 2 3(5 - b) + 2b + c = 2 15 - 3b + 2b + c = 2 15 - b + c = 2 -b + c = -13 (Equação 2) çã
Agora, temos:
b - c = -2 (Equação 1) -b + c = -13 (Equação 2) çãçã
Vamos somar Equação 1 e Equação 2:
(b - c) + (-b + c) = -2 + (-13) 0 = -15
Isso indica que o sistema não tem solução, ou seja, não é possível expressar w como combinação linear de v1, v2 e v3.
Resposta
Não é possível escrever w = (3, 5, 2) como uma combinação linear de v1 = (1, 1, 3), v2 = (2, 1, 2) e v3 = (-1, 0, 1).