Escreva, se possível, w como combinação linear de v1, v2 e v3 :
v1=(1,1,3), v2=(2,1,2), v3=(-1,0,1) e w=(3,5,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o vetor w = (3, 5, 2) como uma combinação linear dos vetores v1 = (1, 1, 3), v2 = (2, 1, 2) e v3 = (-1, 0, 1). Isso significa que queremos encontrar números (chamados de coeficientes) a, b e c tais que:
w = av1 + bv2 + cv3
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações que relaciona as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear explicitamente:
(3, 5, 2) = a(1, 1, 3) + b(2, 1, 2) + c(-1, 0, 1)
Agora, vamos distribuir os coeficientes a, b e c:
(3, 5, 2) = (a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot (-1), a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0, a cdot 3 + b cdot 2 + c cdot 1)
Simplificando cada componente:
(3, 5, 2) = (a + 2b - c, a + b, 3a + 2b + c)

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
  1. Primeira componente:
    a + 2b - c = 3
  2. Segunda componente:
    a + b = 5
  3. Terceira componente:
    3a + 2b + c = 2
Então, temos o seguinte sistema de equações:
a + 2b - c = 3 a + b = 5 3a + 2b + c = 2

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar o a:
a = 5 - b
Agora, substituímos esse valor de a nas outras duas equações.

Passo 5

Substituindo a = 5 - b na primeira equação:
(5 - b) + 2b - c = 3
Simplificando:
5 + b - c = 3 b - c = -2 (Equação 1) çã
E substituindo a = 5 - b na terceira equação:
3(5 - b) + 2b + c = 2 15 - 3b + 2b + c = 2 15 - b + c = 2 -b + c = -13 (Equação 2) çã

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
b - c = -2 -b + c = -13
Vamos somar as duas equações para eliminar o c:
(b - c) + (-b + c) = -2 + (-13) 0 = -15
Ops! Isso não faz sentido. Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.

Passo 7

Revisando a substituição na terceira equação:
3a + 2b + c = 2 3(5 - b) + 2b + c = 2 15 - 3b + 2b + c = 2 15 - b + c = 2 -b + c = -13 (Equação 2) çã
Agora, temos:
b - c = -2 (Equação 1) -b + c = -13 (Equação 2) çãçã
Vamos somar Equação 1 e Equação 2:
(b - c) + (-b + c) = -2 + (-13) 0 = -15
Isso indica que o sistema não tem solução, ou seja, não é possível expressar w como combinação linear de v1, v2 e v3.

Resposta

Não é possível escrever w = (3, 5, 2) como uma combinação linear de v1 = (1, 1, 3), v2 = (2, 1, 2) e v3 = (-1, 0, 1).

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