( 1,0 ponto) Três vértices de um tetraedro de volume 3 são A(1,2,-3), B(-1,0,1) e C(2,5,-1). Det o quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo O z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um tetraedro com três vértices já conhecidos: , e . Sabemos também que o volume desse tetraedro é 3. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do quarto vértice , que está no eixo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do volume de um tetraedro em termos de coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro usando as coordenadas dos seus vértices. A fórmula do volume V = 16 | det xA & yA & zA & 1 xB & yB & zB & 1 xC & yC & zC & 1 xD & yD & zD & 1 | é dada por:
Como o ponto está no eixo , suas coordenadas serão .

Passo 3

Vamos substituir as coordenadas conhecidas na fórmula. Primeiro, montamos a matriz:
1 & 2 & -3 & 1 -1 & 0 & 1 & 1 2 & 5 & -1 & 1 0 & 0 & z & 1
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para facilitar, podemos expandir esse determinante pelo quarto linha, já que ela tem muitos zeros:
det = 0 cdot até que + 0 cdot até que + z cdot det 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 2 & 5 & 1 + (-1)^4+4 cdot det 1 & 2 & -3 -1 & 0 & 1 2 & 5 & -1 éé
Simplificando, temos:
det = z cdot det 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 2 & 5 & 1 + det 1 & 2 & -3 -1 & 0 & 1 2 & 5 & -1

Passo 5

Vamos calcular os determinantes menores. Primeiro:
det 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 2 & 5 & 1 = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 5) - 2 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1 cdot (-1 cdot 5 - 0 cdot 2) = 1(-5) -2(-3) +1(-5) = -5 +6 -5 = -4
Segundo:
det 1 & 2 & -3 -1 & 0 & 1 2 & 5 & -1 = 1 cdot (0 cdot (-1) -1 cdot 5) -2 cdot (-1 cdot (-1) -1 cdot 2) -3 cdot (-1 cdot 5 -0 cdot 2) = 1(-5) -2(1 -2) -3(-5) = -5 -2(-1) +15 = -5 +2 +15 = 12

Passo 6

Substituindo de volta na equação do determinante:
det = z(-4) + 12 = -4z + 12
Agora, lembrando que o volume é:
V = 16 | -4z + 12 | = 3

Passo 7

Vamos resolver a equação para 16 | -4z + 12 | = 3 | -4z + 12 | = 18 :
-4z = 18 -12 -4z = 6 z = -64 = -1,5
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. -4z = -18 -12 -4z = -30 z = 304 = 7,5
Resolvendo a primeira:
Resolvendo a segunda:

Resposta

O quarto vértice está no eixo e pode ser ou .

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