( 1,0 ponto) Três vértices de um tetraedro de volume 3 são e . Det o quarto vértice , sabendo que ele pertence ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um tetraedro com três vértices já conhecidos: , e . Sabemos também que o volume desse tetraedro é 3. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do quarto vértice , que está no eixo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do volume de um tetraedro em termos de coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro usando as coordenadas dos seus vértices. A fórmula do volume é dada por:
Como o ponto está no eixo , suas coordenadas serão .
Passo 3
Vamos substituir as coordenadas conhecidas na fórmula. Primeiro, montamos a matriz: