Seja S=1,2,3,4 com a ordem <= usual. Considere em S times S a ordem lexicográfica preccurlyeq. Faça um esboço do diagrama de Hasse de S times S.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto com a ordem usual, ou seja, . Precisamos olhar para o produto cartesiano e organizar esse conjunto usando a ordem lexicográfica, que é basicamente como organizar palavras no dicionário. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ordem lexicográfica e como construir um diagrama de Hasse, que é uma maneira de visualizar relações de ordem entre os elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o produto cartesiano S times S = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) . Isso significa que vamos combinar cada elemento de com todos os elementos de . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos entender a ordem lexicográfica . Dizemos que se:
  1. , ou
  2. e .
É como se estivéssemos comparando palavras: primeiro olhamos para a primeira letra, se for igual, olhamos para a segunda.

Passo 4

Com a ordem definida, vamos ordenar os pares de (1,1) preccurlyeq (1,2) preccurlyeq (1,3) preccurlyeq (1,4) preccurlyeq (2,1) preccurlyeq (2,2) preccurlyeq (2,3) preccurlyeq (2,4) preccurlyeq (3,1) preccurlyeq (3,2) preccurlyeq (3,3) preccurlyeq (3,4) preccurlyeq (4,1) preccurlyeq (4,2) preccurlyeq (4,3) preccurlyeq (4,4) de forma crescente seguindo a ordem lexicográfica:

Passo 5

O próximo passo é construir o diagrama de Hasse. Nesse diagrama, cada par ordenado é representado por um ponto, e desenhamos linhas verticais ligando um par a outro se o segundo for imediatamente maior que o primeiro na ordem. Não desenhamos linhas horizontais ou redundantes para manter o diagrama limpo.

Passo 6

Vamos começar colocando os menores elementos no fundo e os maiores no topo. Por exemplo, será a base. De , podemos subir para e , já que são os próximos na ordem lexicográfica.

Passo 7

Continuamos esse processo, conectando cada par ao próximo imediatamente maior. Por exemplo, de , podemos ir para e , e assim por diante, até conectar todos os 16 pares de acordo com a ordem definida.

Resposta

O diagrama de Hasse de com a ordem lexicográfica consiste em 16 pontos representando cada par ordenado de , organizados de baixo para cima seguindo a ordem lexicográfica. As linhas conectam cada par a seus imediatamente superiores, ilustrando a relação de precedência entre eles.

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