Seja
com a ordem
usual. Considere em
a ordem lexicográfica
. Faça um esboço do diagrama de Hasse de
.
Passo 1
Então, a gente tem o conjunto
com a ordem usual, ou seja,
. Precisamos olhar para o produto cartesiano
e organizar esse conjunto usando a ordem lexicográfica, que é basicamente como organizar palavras no dicionário. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ordem lexicográfica e como construir um diagrama de Hasse, que é uma maneira de visualizar relações de ordem entre os elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o produto cartesiano
. Isso significa que vamos combinar cada elemento de
com todos os elementos de
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos entender a ordem lexicográfica
. Dizemos que
se:
-
, ou -
e .
É como se estivéssemos comparando palavras: primeiro olhamos para a primeira letra, se for igual, olhamos para a segunda.
Passo 4
Com a ordem definida, vamos ordenar os pares de
de forma crescente seguindo a ordem lexicográfica:
Passo 5
O próximo passo é construir o diagrama de Hasse. Nesse diagrama, cada par ordenado é representado por um ponto, e desenhamos linhas verticais ligando um par a outro se o segundo for imediatamente maior que o primeiro na ordem. Não desenhamos linhas horizontais ou redundantes para manter o diagrama limpo.
Passo 6
Vamos começar colocando os menores elementos no fundo e os maiores no topo. Por exemplo,
será a base. De
, podemos subir para
e
, já que são os próximos na ordem lexicográfica.
Passo 7
Continuamos esse processo, conectando cada par ao próximo imediatamente maior. Por exemplo, de
, podemos ir para
e
, e assim por diante, até conectar todos os 16 pares de acordo com a ordem definida.
Resposta
O diagrama de Hasse de
com a ordem lexicográfica
consiste em 16 pontos representando cada par ordenado de
, organizados de baixo para cima seguindo a ordem lexicográfica. As linhas conectam cada par a seus imediatamente superiores, ilustrando a relação de precedência entre eles.