Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Aqui,
é definido como todos os vetores
em
onde
, e
é todo o espaço vetorial
. A gente vai precisar lembrar quais são os critérios para um conjunto ser subespaço de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os três critérios que
precisa satisfazer para ser um subespaço de
:
- O vetor zero está em
: Precisamos verificar se o vetor zero de pertence a . - Fechamento para adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em . - Fechamento para multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de
por qualquer escalar de , o resultado também deve estar em .
Vamos checar cada um desses pontos.
Passo 3
1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Como
no vetor zero, temos que
.
Então, o primeiro critério é satisfeito.
Passo 4
2. Verificando o fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Sejam
e
.
A soma desses vetores é:
Observe que a primeira componente é 0, então
.
Então, o fechamento para adição está garantido.
Passo 5
3. Verificando o fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor pelo escalar:
A primeira componente continua sendo 0, então
.
Então, o fechamento para multiplicação por escalar também está garantido.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.