Em cada um dos casos verifique se o conjunto W contido no espaço vetorial V é um subespaço do espaço vetorial V. Lembramos aqui que F[x] são os polinômios em F, C^1(R) são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de R em R.
a) W=(x, y, z) in F^3 mid x=0, V=F^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, é definido como todos os vetores em onde , e é todo o espaço vetorial . A gente vai precisar lembrar quais são os critérios para um conjunto ser subespaço de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os três critérios que precisa satisfazer para ser um subespaço de :
  1. O vetor zero está em : Precisamos verificar se o vetor zero de pertence a .
  2. Fechamento para adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechamento para multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de por qualquer escalar de , o resultado também deve estar em .
Vamos checar cada um desses pontos.

Passo 3

1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
Como no vetor zero, temos que .
Então, o primeiro critério é satisfeito.

Passo 4

2. Verificando o fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (0 + 0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2) . Sejam e .
A soma desses vetores é:
Observe que a primeira componente é 0, então .
Então, o fechamento para adição está garantido.

Passo 5

3. Verificando o fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c cdot u = c cdot (0, y, z) = (c cdot 0, c cdot y, c cdot z) = (0, c y, c z) , digamos , e um escalar .
Multiplicando o vetor pelo escalar:
A primeira componente continua sendo 0, então .
Então, o fechamento para multiplicação por escalar também está garantido.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço do espaço vetorial .

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