Dados
A=(ll 3 & 1 5 & 2 ) e B=(ll 1 & 2 3 & 4 )
(b) achar uma matriz 2 times 2, Y, tal que Y A=B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes A = 3 & 1 5 & 2 e B = 1 & 2 3 & 4 e , sendo:
A pergunta é: encontrar uma matriz de tamanho tal que . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Para achar , queremos isolar ela na equação . Na álgebra linear, para isolar , podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , se for invertível. Isso porque a inversa de , denotada por , tem a propriedade de que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Primeiro, precisamos verificar se det(A) = (3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é 1 (diferente de zero), é invertível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . Para uma matriz a & b c & d , a inversa é dada por:
A^-1 = 11 2 & -1 -5 & 3 = 2 & -1 -5 & 3
Onde . Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 5

Agora que temos Y cdot A cdot A^-1 = B cdot A^-1 , podemos multiplicar ambos os lados da equação Y cdot I = Y = B cdot A^-1 por para isolar :
Simplificando o lado esquerdo:
Então, .

Passo 6

Vamos calcular Y = 1 & 2 3 & 4 cdot 2 & -1 -5 & 3 multiplicando Y = (1 cdot 2) + (2 cdot -5) & (1 cdot -1) + (2 cdot 3) (3 cdot 2) + (4 cdot -5) & (3 cdot -1) + (4 cdot 3) = 2 - 10 & -1 + 6 6 - 20 & -3 + 12 = -8 & 5 -14 & 9 por :
Multiplicando as matrizes:

Resposta

A matriz Y = -8 & 5 -14 & 9 que satisfaz é:

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