Considere o produto interno usual no R^2,|u|=3,|v|=4 e|u+v|=2 raiz 5. Indique o ângulo entre v e u.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no R^2, com normas |u| = 3 e |v| = 4. Também sabemos que a norma da soma deles é |u + v| = 2raiz5. Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre os vetores u e v. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno e a relação entre ele e o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a norma de um vetor u é dada por |u| = raizu cdot u. Também sabemos que para dois vetores u e v, a norma da soma é:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2(u cdot v)

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos nessa equação:
(2raiz5)^2 = 3^2 + 4^2 + 2(u cdot v)
Isso resulta em:
4 cdot 5 = 9 + 16 + 2(u cdot v)

Passo 4

Simplificando:
20 = 25 + 2(u cdot v)
Subtraindo 25 de ambos os lados:
-5 = 2(u cdot v)
Dividindo por 2:
u cdot v = -52

Passo 5

Sabemos que o produto interno também está relacionado ao cosseno do ângulo entre os vetores:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Substituindo os valores:
-52 = 3 cdot 4 cdot cos(theta)
-52 = 12 cos(theta)
Dividindo ambos os lados por 12:
cos(theta) = -524

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é:
theta = arccos(-524) approx 104,48^circ

Exercícios relacionados