Sejam
A=(ll 5 & 3 3 & 2 ), B=(ll 6 & 2 2 & 4 ), C=(rr 4 & -2 -6 & 3 )
(d) X A+C=X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo matrizes onde queremos descobrir a matriz X A + C = X . O enunciado é:
Aqui, e são matrizes conhecidas, e é a matriz que a gente precisa encontrar. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de manipulação de matrizes e inversão de matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o X A + C = X na equação. A equação original é:
X A + C - X = 0
Para isolar o X (A - I) = -C , vamos subtrair de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Essa etapa usa a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes.

Passo 3

Agora, para resolver para X = -C (A - I)^-1 , precisamos “dividir” ambos os lados por . Mas em matrizes, não existe divisão direta. O que a gente faz é multiplicar ambos os lados pela inversa de , se ela existir. Assim:
Isso significa que é igual a multiplicado pela inversa de .

Passo 4

Vamos calcular A = 5 & 3 3 & 2 . A matriz I = 1 & 0 0 & 1 é:
A - I = 5-1 & 3-0 3-0 & 2-1 = 4 & 3 3 & 1
A matriz identidade de ordem 2 é:
Então,

Passo 5

Vamos encontrar a inversa de a & b c & d . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 1ad - bc d & -b -c & a é:
det(A - I) = (4)(1) - (3)(3) = 4 - 9 = -5
Calculando o determinante:
(A - I)^-1 = 1-5 1 & -3 -3 & 4 = -15 & 35 35 & -45
Então, a inversa é:

Passo 6

Agora, vamos calcular C = 4 & -2 -6 & 3 . A matriz -C = -4 & 2 6 & -3 é:
Multiplicando por -1:

Passo 7

Finalmente, vamos multiplicar X = -C (A - I)^-1 = -4 & 2 6 & -3 -15 & 35 35 & -45 pela inversa de X = (-4) (-15) + 2 (35) & (-4) (35) + 2 (-45) 6 (-15) + (-3) (35) & 6 (35) + (-3) (-45) :
X = 45 + 65 & -125 - 85 -65 - 95 & 185 + 125 = 2 & -4 -3 & 6
Fazendo a multiplicação das matrizes:
Simplificando:

Resposta

A solução para a matriz X = 2 & -4 -3 & 6 é:

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